Теорема Дезарга

Если два треугольника расположены на плоскости таким образом, что прямые, соединяющие соответственные вершины треугольников, проходят через одну точку, то три точки, в которых пересекаются продолжения трёх пар соответственных сторон треугольников, лежат на одной прямой.

Обратное тоже верно:

Если два треугольника расположены на плоскости таким образом, что три точки, в которых пересекаются продолжения трёх пар соответственных сторон треугольников, лежат на одной прямой, то прямые, соединяющие соответственные вершины треугольников, проходят через одну точку.

• Одно из самых распространённых доказательств основывается на переходе в трёхмерное пространство — достаточно представить оба треугольника двумя сечениями трёхгранной пирамиды. Вся картина при этом рассматривается как проекция на плоскость пространственной структуры.
• Другое доказательство состоит в применении проективного преобразования, которое переводит две из пересечений продолжений сторон на идеальную прямую. После этого остаётся доказать параллельность третьей пары сторон. Последнее легко видеть из подобия треугольников.
• Ещё одно доказательство состоит в трёхкратном использовании теоремы Менелая.

Понселе основал на теореме Дезарга свою изящную теорию гомологических фигур. Он называл два треугольника, о которых идет речь в теореме Дезарга, гомологическими, точку пересечения прямых, соединяющих попарно их вершины — центром гомологии, а прямую, на которой попарно пересекаются их стороны, — осью гомологии.

Понселе дал следующую теорему для геометрии в пространстве, как соответствующую теореме Дезарга на плоскости:

Эта теорема может быть обобщена ещё далее следующим образом:

Конфигурация Дезарга

Точки и прямые в теореме Дезарга образуют так называемую конфигурацию Дезарга. Здесь через каждую из 10 точек проходят 3 прямые и на каждой из 10 прямых лежат 3 точки. При этом любая из 10 точек может быть принята за «вершину трёхгранной пирамиды» («дезаргову точку») в приведённом выше доказательстве. Любая прямая может быть взята как «дезаргова прямая». Фиксирование дезарговой точки или дезарговой прямой полностью определяет всю конфигурацию.

Конфигурации Дезарга как пары взаимно вписанных пятиугольников: каждая вершина пятиугольника лежит на линии, проходящей через одну из сторон другого пятиугольника

Конфигурация не является конфигурацией Дезарга

При построении проективной геометрии плоскости без выхода в трёхмерное пространство, теорема Дезарга не выводится из основных аксиом проективной плоскости. Это означает, что возможно построить проективную плоскость, где теорема Дезарга неверна. Например, плоскость Кэли — проективная плоскость над алгеброй Кэли ${\displaystyle \mathbb {O} }$ не является дезарговой (см. также недезаргова геометрия).

При построении дезарговой проективной плоскости утверждение теоремы Дезарга добавляют к системе аксиом проективной плоскости в качестве ещё одной аксиомы.

Теорема Дезарга была открыта французским геометром Дезаргом: она, вместе с двумя другими, из которых одна есть её обратная, была помещена в конце сочинения Traité de perspective, составленного Боссом согласно началам и методу Дезарга и появившегося в 1636 году. В этом сочинении было отмечено, что это утверждение очевидно, когда треугольники находятся в двух разных плоскостях; рассмотрение же случая, когда они лежат в одной плоскости, доставляет один из первых примеров употребления теоремы Менелая у новых геометров. Известность теорема Дезарга получила в начале XIX века благодаря её употреблению в работах Брианшона и Понселе.

• Теорема Паппа

• Шаль, Мишель. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Т. 1, § 28. М., 1883.
• Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 74-76. — ISBN 5-94057-170-0.