Теорема Чевы

Определим чевиану как отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне.

Три чевианы ${\displaystyle AA',BB',CC'}$ треугольника ${\displaystyle ABC}$ проходят через одну точку тогда и только тогда, когда:

${\displaystyle {\frac {BA'\cdot CB'\cdot AC'}{A'C\cdot B'A\cdot C'B}}=1}$

Теорема Чевы для точек, лежащих на продолжениях сторон. Чевианы и их основания обозначены зелёным цветом, а точка их пересечения — голубым.

• Эту теорему можно обобщить на случай, когда точки ${\displaystyle A',B',C'}$ лежат на продолжениях сторон ${\displaystyle BC,CA,AB}$. Для этого надо воспользоваться «отношением направленных отрезков». Оно определено для двух коллинеарных направленных отрезков ${\displaystyle XY}$ и ${\displaystyle ZT}$ и обозначается ${\displaystyle {XY}/{ZT}}$
  • Пусть ${\displaystyle A',B',C'}$ лежат на прямых ${\displaystyle BC,CA,AB}$ треугольника ${\displaystyle ABC}$. Прямые ${\displaystyle AA',BB',CC'}$ конкурентны (то есть параллельны или пересекаются в одной точке) тогда и только тогда, когда: ${\displaystyle {\frac {BA'}{A'C}}\cdot {\frac {CB'}{B'A}}\cdot {\frac {AC'}{C'B}}=1}$

• Теорема Понселе. Исходную теорему Чевы можно обобщить на случай многоугольника с нечетным числом сторон. Тогда ее называют теоремой Понселе. Она звучит так: прямые, соединяющие какую-нибудь точку с вершинами многоугольника, имеющего нечетное число сторон, образуют на противоположных его сторонах такие отрезки, что произведение отрезков, не имеющих общих концов, равно произведению остальных отрезков (см. п. 23, с 35. в [1])
• Тригонометрическая теорема Чевы:

  ${\displaystyle {\frac {\sin \angle BAA'}{\sin \angle A'AC}}\cdot {\frac {\sin \angle ACC'}{\sin \angle C'CB}}\cdot {\frac {\sin \angle CBB'}{\sin \angle B'BA}}=1.}$

При этом углы здесь считаются ориентированными; то есть ${\displaystyle \angle XYZ}$ есть угол, на который надо повернуть прямую ${\displaystyle XY}$ против часовой стрелки, чтоб получить прямую ${\displaystyle YZ}$.

Известны доказательства

• методом площадей,
• с помощью геометрии масс,
• двойное применение теоремы Менелая и многие другие.

Сам Чева привёл доказательство с помощью геометрии масс, но существует также и другие доказательства.

• Чевиана
• Теорема Менелая

• Балк М. Б., Болтянский В. Г. Геометрия масс. — М.: Наука, 1987. —(Библиотечка «Квант»)).
• Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).
• Мякишев А. Г. Элементы геометрии треугольника. Серия: «Библиотека „Математическое просвещение“». М.: МЦНМО, 2002.
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 66—68. — ISBN 5-94057-170-0.
• Шаль, Мишель. О сочинении Чевы, под заглавием: De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio (in — 4°, Milan, 1678). // Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Т. 2. М., 1883.
• Giovanni Ceva. De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio Milan, 1678