Метод площадей

Чертёж к доказательству Евклида. Основное направление доказательства — установление конгруэнтности ${\displaystyle \triangle ACK\cong \triangle ABD}$, площадь которых составляет половину площади прямоугольников ${\displaystyle AHJK}$ и ${\displaystyle ACED}$ соответственно.

Классическое доказательство Евклида направлено на установление равенства площадей между прямоугольниками, образованными из рассечения квадрата над гипотенузой высотой из прямого угла с квадратами над катетами.

Конструкция, используемая для доказательства следующая: для прямоугольного треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ с прямым углом ${\displaystyle C}$, квадратов над катетами ${\displaystyle ACED}$ и ${\displaystyle BCFG}$ и квадрата над гипотенузой ${\displaystyle ABIK}$ строится высота ${\displaystyle CH}$ и продолжающий её луч ${\displaystyle s}$, разбивающий квадрат над гипотенузой на два прямоугольника ${\displaystyle AHJK}$ и ${\displaystyle BHJI}$. Доказательство нацелено на установление равенства площадей прямоугольника ${\displaystyle AHJK}$ с квадратом над катетом ${\displaystyle AC}$; равенство площадей второго прямоугольника, составляющего квадрат над гипотенузой, и прямоугольника над другим катетом устанавливается аналогичным образом.

Равенство площадей прямоугольника ${\displaystyle AHJK}$ и ${\displaystyle ACED}$ устанавливается через конгруэнтность треугольников ${\displaystyle \triangle ACK}$ и ${\displaystyle \triangle ABD}$, площадь каждого из которых равна половине площади квадратов ${\displaystyle AHJK}$ и ${\displaystyle ACED}$ соответственно в связи со следующим свойством: площадь треугольника равна половине площади прямоугольника, если у фигур есть общая сторона, а высота треугольника к общей стороне является другой стороной прямоугольника. Конгруэнтность треугольников следует из равенства двух сторон (стороны квадратов) и углу между ними (составленного из прямой угла и угла при ${\displaystyle A}$.

Таким образом, доказательством устанавливается, что площадь квадрата построенного на гипотенузе, составленного из прямоугольников ${\displaystyle AHJK}$ и ${\displaystyle BHJI}$, равна сумме площадей квадратов над катетами.

• 9.3 в И.Ф. Шарыгин. Геометрия 7—9,. — М.: Дрофа, 1997. — 352 с.