Теорема о биссектрисе

• То же равенство выполняется и для точки ${\displaystyle D}$ лежащей на пересечении внешней биссектрисы и продолжении стороны ${\displaystyle BC}$.

Рассмотрим треугольник ABC. Из вершины A на сторону BC опущена биссектриса AD. Найдем площади треугольников ABD и ACD:

Метод площадей

${\displaystyle {\frac {S_{ABD}}{S_{ACD}}}={\frac {{\frac {1}{2}}AB\cdot AD\cdot \sin \alpha }{{\frac {1}{2}}AC\cdot AD\cdot \sin \alpha }}={\frac {AB}{AC}}.}$

С другой стороны,

${\displaystyle {\frac {S_{ABD}}{S_{ACD}}}={\frac {{\frac {1}{2}}BD\cdot AH}{{\frac {1}{2}}CD\cdot AH}}={\frac {BD}{CD}}.}$

Значит,

${\displaystyle {\frac {BD}{CD}}={\frac {AB}{AC}}.}$

Рассмотрим треугольник ABC с биссектрисой AD. Запишем теорему синусов для треугольников ABD и ACD:

Доказательство теоремы о биссектрисе с помощью теоремы синусов

${\displaystyle {\frac {AB}{\sin \gamma }}={\frac {BD}{\sin \alpha }},\quad (1)}$

${\displaystyle {\frac {AC}{\sin(180^{\circ }-\gamma )}}={\frac {CD}{\sin \alpha }}.}$

Но ${\displaystyle \sin(180^{\circ }-\gamma )=\sin \gamma ,}$ следовательно,

${\displaystyle {\frac {AC}{\sin \gamma }}={\frac {CD}{\sin \alpha }}.\quad (2)}$

Поделив равенство (1) на равенство (2), получим:

${\displaystyle {\frac {BD}{CD}}={\frac {AB}{AC}}.}$

Данный способ доказательства основан на продлении биссектрисы до пересечения с ней перпендикуляра, опущенного на нее из одной из вершин.

Доказательство теоремы о биссектрисе через подобие треугольников

Рассмотрим треугольник ABC с биссектрисой AD. Опустим перпендикуляры BK и CT на нее и ее продолжение соответственно. Треугольники KBD и DCT подобны по двум углам, значит,

${\displaystyle {\frac {BD}{CD}}={\frac {BK}{CT}}.}$

Треугольники ABK и ACT тоже подобны по двум углам, значит, справедливо равенство:

${\displaystyle {\frac {AB}{AC}}={\frac {BK}{CT}}.}$

Отсюда получаем, что ${\displaystyle {\frac {BD}{CD}}={\frac {AB}{AC}}.}$