Теорема синусов

Достаточно доказать, что

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}=2R.}$

Проведем диаметр ${\displaystyle |BG|}$ для описанной окружности. По свойству углов, вписанных в окружность, угол ${\displaystyle GCB}$ прямой, а угол ${\displaystyle CGB}$ равен либо ${\displaystyle \alpha }$, если точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle G}$ лежат по одну сторону от прямой ${\displaystyle BC}$, либо ${\displaystyle \pi -\alpha }$ в противном случае. Поскольку ${\displaystyle \sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha }$, в обоих случаях получаем

${\displaystyle a=2R\sin \alpha }$.

Повторив то же рассуждение для двух других сторон треугольника, получаем:

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R.}$ ∎

Возьмем две формулы для нахождения площади треугольника ${\displaystyle S={\frac {abc}{4R}}}$ и ${\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma .}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {abc}{4R}}={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma \\{\frac {abc}{4R}}={\frac {1}{2}}ac\sin \beta \\{\frac {abc}{4R}}={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha \end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}{\frac {c}{2R}}=\sin \gamma \\{\frac {b}{2R}}=\sin \beta \\{\frac {a}{2R}}=\sin \alpha \end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}2R={\frac {c}{\sin \gamma }}\\2R={\frac {b}{\sin \beta }}\\2R={\frac {a}{\sin \alpha }}\end{cases}}\Leftrightarrow 2R={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}.}$ ∎