Редко используемые тригонометрические функции

Синус-верзус определён через синус и косинус как

${\displaystyle \operatorname {versin} \,\vartheta =1-\cos \vartheta =2\sin ^{2}\left({\frac {\vartheta }{2}}\right).}$

Синус-верзус вместе с косинусом составляет радиус окружности.

Версинус — периодическая функция с периодом ${\displaystyle 2\pi }$. Версинус определён, непрерывен и бесконечно дифференцируем для всех действительных чисел.

${\displaystyle \operatorname {versin} }$ можно использовать в плоскости комплексных чисел.

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\operatorname {versin} \ z=\operatorname {sin} \ z}$

${\displaystyle \int \operatorname {versin} \,z\,dz=z-\sin z+C}$

Косинус-верзус определён через версинус и синус как

${\displaystyle \operatorname {vercos} \,\vartheta =\operatorname {versin} \,\left({\frac {\pi }{2}}-\vartheta \right)=1-\sin \vartheta .}$

Веркосинус — периодическая функция с периодом ${\displaystyle 2\pi }$. Веркосинус определён, непрерывен и бесконечно дифференцируем для всех действительных чисел.

${\displaystyle \operatorname {vercos} }$ можно использовать в плоскости комплексных чисел.

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\operatorname {vercos} \ z=-\operatorname {cos} \ z}$

${\displaystyle \int \operatorname {vercos} \,z\,dz=z+\cos z+C}$

Гаверсинус определён через верзус-синус и синус как

${\displaystyle \operatorname {haversin} \,\vartheta ={\frac {\operatorname {versin} \,\vartheta }{2}}=\sin ^{2}{\frac {\vartheta }{2}}.}$

Гаверсинус — периодическая функция с периодом ${\displaystyle 2\pi }$. Гаверсинус определён, непрерывен и бесконечно дифференцируем для всех действительных чисел.

${\displaystyle \operatorname {haversin} }$ можно использовать в плоскости комплексных чисел.

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\operatorname {haversin} \ z={\frac {\operatorname {sin} \ z}{2}}}$

${\displaystyle \int \operatorname {haversin} \,z\,dz=-{\frac {\operatorname {sin} \ z}{2}}+{\frac {z}{2}}+C}$

Гаверкосинус определён через верзус-косинус и косинус как

${\displaystyle \operatorname {havercos} \,\vartheta ={\frac {\operatorname {vercos} \,\vartheta }{2}}=\cos ^{2}{\frac {\vartheta }{2}}.}$

Гаверкосинус — периодическая функция с периодом ${\displaystyle 2\pi }$. Гаверкосинус определён, непрерывен и бесконечно дифференцируем для всех действительных чисел.

${\displaystyle \operatorname {havercos} }$ можно использовать в плоскости комплексных чисел.

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\operatorname {havercos} \ z=-{\frac {\operatorname {cos} \ z}{2}}}$

${\displaystyle \int \operatorname {havercos} \,z\,dz={\frac {\operatorname {cos} \,z}{2}}+{\frac {z}{2}}+C}$

Эксеканс определён через секанс как

${\displaystyle \operatorname {exsec} \,\vartheta =\sec \vartheta -1.}$

Эксеканс — периодическая функция с периодом ${\displaystyle 2\pi }$. Эксеканс определён, непрерывен и бесконечно дифференцируем для всех действительных чисел.

${\displaystyle \operatorname {exsec} }$ можно использовать в плоскости комплексных чисел.

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\operatorname {exsec} \ z=\operatorname {tg} \ z\cdot \operatorname {sec} \ z}$

${\displaystyle \int \operatorname {exsec} (z)\,\mathrm {d} z=\ln \left[\cos \left({\frac {z}{2}}\right)+\sin \left({\frac {z}{2}}\right)\right]-\ln \left[\cos \left({\frac {z}{2}}\right)-\sin \left({\frac {z}{2}}\right)\right]-z+C}$

Экскосеканс определён через эксеканс и косеканс как

${\displaystyle \operatorname {excsc} \,\vartheta =\operatorname {exsec} \,\left({\frac {\pi }{2}}-\vartheta \right)=\operatorname {cosec} \,\vartheta -1.}$

Экскосеканс — периодическая функция с периодом ${\displaystyle 2\pi }$. Экскосеканс определён, непрерывен и бесконечно дифференцируем для всех действительных чисел.

${\displaystyle \operatorname {excsc} }$ можно использовать в плоскости комплексных чисел.

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\operatorname {excsc} \ z=-\operatorname {ctg} \ z\cdot \operatorname {sec} \ z}$

${\displaystyle \int \operatorname {excsc} (z)\,\mathrm {d} z=\ln \left[\tan \left({\frac {z}{2}}\right)\right]-z+C}$