История тригонометрии

Несколько теорем тригонометрического характера содержат «Начала» Евклида (IV век до н. э.). В первой книге «Начал» теоремы 18 и 19 устанавливают, что большей стороне треугольника соответствует больший противолежащий угол — и обратно, большему углу соответствует бо́льшая сторона. Теоремы 20 и 22 формулируют «неравенство треугольника»: из трёх отрезков можно составить треугольник тогда и только тогда, когда длина каждого меньше суммы длин двух других. Теорема 32 доказывает, что сумма углов треугольника равна 180°.

Во второй книге «Начал» теорема 12 представляет собой словесный аналог теоремы косинусов[10]:

В тупоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей тупой угол, больше [суммы] квадратов на сторонах, содержащих тупой угол, на дважды взятый прямоугольник, заключённый между одной из сторон при тупом угле, на которую падает перпендикуляр, и отсекаемым этим перпендикуляром снаружи отрезком при тупом угле.

Следующая за ней теорема 13 — вариант теоремы косинусов для остроугольных треугольников. Аналога теоремы синусов у греков не было, это важнейшее открытие было сделано гораздо позднее[11].

Прямоугольный треугольник Аристарха: взаимное расположение Солнца, Луны и Земли во время квадратуры

Дальнейшее развитие тригонометрии связано с именем астронома Аристарха Самосского (III век до н. э.). В его трактате «О величинах и расстояниях Солнца и Луны» ставилась задача об определении расстояний до небесных тел; эта задача требовала вычисления отношения сторон прямоугольного треугольника при известном значении одного из углов. Аристарх рассматривал прямоугольный треугольник, образованный Солнцем, Луной и Землёй во время квадратуры. Ему требовалось вычислить величину гипотенузы (расстояние от Земли до Солнца) через катет (расстояние от Земли до Луны) при известном значении прилежащего угла (87°), что эквивалентно вычислению значения ${\displaystyle \sin 3^{\circ }}$. По оценке Аристарха, эта величина лежит в промежутке от 1/20 до 1/18, то есть расстояние до Солнца в 20 раз больше, чем до Луны[12]; на самом деле Солнце почти в 400 раз дальше, чем Луна, ошибка возникла из-за неточности в измерении угла. Попутно Аристарх доказал неравенство, которое в современных терминах передаётся формулой:

${\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}<{\frac {\alpha }{\beta }}<{\frac {\operatorname {tg} \alpha }{\operatorname {tg} \beta }}.}$

Это же неравенство содержится в «Исчислении песчинок» Архимеда[13]. В трудах Архимеда (III век до н. э.) имеется важная теорема деления хорд, по существу эквивалентная формуле синуса половинного угла[14][15]:

${\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}.}$

Гиппарх Никейский, предполагаемый автор первых тригонометрических таблиц

В течение всего периода развития античной науки главным полем для приложения результатов плоской тригонометрии у греков оставалась астрономия. Помимо задачи о вычислении расстояний, привлечения тригонометрии требовало определение параметров системы эпициклов и/или эксцентров, представляющих движение светила в пространстве. Согласно широко распространённому мнению, эта проблема впервые была сформулирована и решена Гиппархом (середина II века до н. э.) при определении элементов орбит Солнца и Луны; возможно, аналогичными задачами занимались и астрономы более раннего времени. Ему же часто приписывают авторство первых тригонометрических таблиц, не дошедших до нас[16]. Впрочем, согласно некоторым реконструкциям, первые тригонометрические таблицы были составлены ещё в III веке до н. э., возможно, Аполлонием Пергским[17].

Синус угла θ/2 равен полухорде единичной окружности

Вместо современной функции синуса Гиппарх и другие древнегреческие математики обычно рассматривали зависимость длины хорды окружности от заданного центрального угла (или, что эквивалентно, от заданной дуги окружности, выраженной в угловой мере). В современной терминологии, длина хорды, стягивающей дугу θ единичной окружности, равна удвоенному синусу центрального угла θ/2. Это соответствие справедливо для любых углов: 0° < θ < 360°. На языке хорд были сформулированы первые открытые греками тригонометрические соотношения[1]. Например, современной формуле:

${\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1}$

соответствовала у греков теорема[18]:

${\displaystyle (chord_{\alpha })^{2}+(chord_{180^{\circ }-\alpha })^{2}=d^{2},}$

где ${\displaystyle chord_{\alpha }}$ — хорда для центрального угла ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle d}$ — диаметр круга.

При этом радиус круга не считался равным единице, как сейчас. Например, у Гиппарха радиус круга предположительно считался равным R=3438 единиц — при таком определении длина дуги окружности была равна угловой мере этой дуги, выраженной в минутах: ${\displaystyle {\frac {360\cdot 60}{2\pi }}\approx 3438}$, и это облегчало вычисления. У Птолемея R=60 единиц. Согласно современным реконструкциям[16] [19], величины хорд у Гиппарха были протабулированы с интервалом 7°30'. Возможно, в основе вычисления таблицы Гиппарха лежал метод, разработанный Архимедом и восходящий ещё к Аристарху[20].

${\displaystyle AB\cdot CD+BC\cdot AD=}$
${\displaystyle =AC\cdot BD}$ (теорема Птолемея)

Позднее астроном II века Клавдий Птолемей в «Альмагесте» дополнил результаты Гиппарха. Тринадцать книг «Альмагеста» — самая значимая тригонометрическая работа всей античности. В частности, «Альмагест» содержит обширные пятизначные таблицы хорд для острых и тупых углов, с шагом 30 угловых минут[1]. Для вычисления хорд Птолемей использовал (в главе X) теорему Птолемея (известную, впрочем, ещё Архимеду), которая утверждает: сумма произведений длин противоположных сторон выпуклого вписанного в круг четырёхугольника равна произведению длин его диагоналей. Из этой теоремы нетрудно вывести две формулы для синуса и косинуса суммы углов и ещё две для синуса и косинуса разности углов, однако общая формулировка этих теорем у греков отсутствует[21].

Основным достижением античной тригонометрической теории стало решение в общем виде задачи «решения треугольников», то есть нахождения неизвестных элементов треугольника, исходя из трёх заданных его элементов (из которых хотя бы один является стороной)[8]. Впоследствии эта задача и её обобщения стали основной задачей тригонометрии[1]: заданы несколько (обычно три) известных элементов треугольника, требуется найти остальные связанные с ним величины. Первоначально в число элементов треугольника (известных или неизвестных) включали стороны и углы при вершинах, позже к ним добавились медианы, высоты, биссектрисы, радиус вписанной или описанной окружности, положение центра тяжести и т. д. Прикладные тригонометрические задачи отличаются большим разнообразием — например, могут быть заданы измеримые на практике результаты действий над перечисленными величинами (к примеру, сумма углов или отношение длин сторон).

Параллельно с развитием тригонометрии плоскости греки, под влиянием астрономии, далеко продвинули сферическую тригонометрию. В «Началах» Евклида на эту тему имеется только теорема об отношении объёмов шаров разного диаметра, но потребности астрономии и картографии вызвали быстрое развитие сферической тригонометрии и смежных с ней областей — системы небесных координат, теории картографических проекций, технологии астрономических приборов (в частности, была изобретена астролябия[22]).

Историки не пришли к консенсусу насчёт степени развития у античных греков геометрии небесной сферы. Некоторые исследователи приводят доводы, что эклиптическая или экваториальная система координат использовалась для записи результатов астрономических наблюдений по меньшей мере уже во времена Гиппарха[23]. Возможно, тогда были известны и некоторые теоремы сферической тригонометрии, которые могли использоваться для составления звёздных каталогов[24] и в геодезии.

Первые известные нам труды по «Сферике» (то есть сферической геометрии, с ясным астрономическим уклоном) написали[25]:

(IV век до н. э.) Автолик из Питаны и Евклид («Феномены»).

(II век до н. э.) Феодосий и Гипсикл.

Некоторые разобранные в этих сочинениях задачи носят тригонометрический характер, однако из-за слабой разработанности теории авторы ещё применяют обходные пути. Например, задачу «найти время полного восхода (захода) зодиакального созвездия» Гипсикл решает приближённо с помощью многоугольных чисел[25].

Сферический треугольник

Решающим этапом в развитии теории стала монография «Сферика» в трёх книгах, которую написал Менелай Александрийский (около 100 года н. э.). В первой книге он изложил теоремы о сферических треугольниках, аналогичные теоремам Евклида о плоских треугольниках (см. I книгу «Начал»). Историки считают, что подход Менелая во многом опирается на труды Феодосия, которые у Менелая существенно расширены и приведены в систему. По сообщению Паппа, Менелай первым ввёл понятие сферического треугольника как фигуры, образованной отрезками больших кругов[26]. Менелай доказал теорему, для которой у Евклида нет плоского аналога: два сферических треугольника конгруэнтны (совместимы), если соответствующие углы равны. Другая его теорема утверждает, что сумма углов сферического треугольника всегда больше 180°[26].

Вторая книга «Сферики» излагает применение сферической геометрии к астрономии. Третья книга содержит важную для практической астрономии теорему Менелая, известную как «правило шести величин»[27]. Две другие открытые Менелаем фундаментальные теоремы впоследствии получили названия «правило четырёх величин» и «правило тангенсов»[26].

Несколько десятилетий спустя Клавдий Птолемей в своих трудах «География», «Аналемма» и «Планисферий» даёт подробное изложение тригонометрических приложений к картографии, астрономии и механике. Среди прочего, описана стереографическая проекция, исследованы несколько практических задач, например: определить высоту и азимут небесного светила по его склонению и часовому углу. С точки зрения тригонометрии, это значит, что надо найти сторону сферического треугольника по другим двум сторонам и противолежащему углу[28].

Сферической геометрии Птолемей посвятил также XIII главу в первой книге «Альмагеста»; в отличие от Менелая, Птолемей не привёл доказательств многих утверждений, но зато уделил много внимания алгоритмам, пригодным для практических вычислений в астрономии. Опорной конструкцией, вместо плоских хорд, в «Альмагесте» служит «четырёхсторонник Менелая». Для «решения» прямоугольного сферического треугольника, то есть для вычисления его характеристик, Птолемей привёл в словесной записи 4 теоремы; в современных обозначениях они имеют вид (угол ${\displaystyle C}$ прямой)[29]:

${\displaystyle \sin a=\sin c\cdot \sin A}$ (частный случай сферической теоремы синусов)

${\displaystyle \operatorname {tg} a=\sin b\cdot \operatorname {tg} A}$

${\displaystyle \cos c=\cos a\cdot \cos b}$ (частный случай сферической теоремы косинусов)

${\displaystyle \operatorname {tg} b=\operatorname {tg} c\cdot \cos A}$

Поясним, что в сферической геометрии принято измерять стороны треугольника не линейными единицами, а величиной опирающихся на них центральных углов. В современной сферической тригонометрии приводятся ещё два соотношения:

${\displaystyle \cos A=\cos a\cdot \sin B}$ (тоже вытекает из сферической теоремы косинусов)

${\displaystyle \cos c=\operatorname {ctg} A\cdot \operatorname {ctg} B}$

У Птолемея они отсутствуют, поскольку их нельзя вывести из теоремы Менелая[29].

В IV веке, после упадка античной науки, центр развития математики переместился в Индию. Сочинения индийских математиков (сиддханты) показывают, что их авторы были хорошо знакомы с трудами греческих астрономов и геометров[30]. Чистой геометрией индийцы интересовались мало, но их вклад в прикладную астрономию и расчётные аспекты тригонометрии очень значителен.

Определение тригонометрических функций в средневековой математике

В первую очередь индийцы изменили некоторые концепции тригонометрии, приблизив их к современным. Они провели замену античных хорд на синусы (название «синус» восходит к слову «тетива» на санскрите[31]) в прямоугольном треугольнике. Тем самым в Индии было положено начало тригонометрии как общему учению о соотношениях в треугольнике, хотя, в отличие от греческих хорд, индийский подход ограничивался только функциями острого угла[32].

Синус индийцы определяли несколько иначе, чем в современной математике (см. рис. справа): под синусом понималась длина отрезка AD, опирающегося на дугу AC окружности радиуса R=3438 единиц (как у Гиппарха). Таким образом, «индийский синус» угла в 3438 раз больше современного синуса и имел размерность длины[31]. Из этого правила были исключения; например, Брахмагупта по неясным причинам принял радиус равным 3270 единиц[33].

Индийцы первыми ввели в использование косинус. Использовался ещё так называемый обращённый синус, или синус-верзус, равный длине отрезка DC на рисунке справа[34].

Как и у греков, тригонометрия индийцев развивалась главным образом в связи с её астрономическими приложениями, в основном для использовании в теории движения планет и для изучения небесной сферы. Это свидетельствует о хорошем знании сферической тригонометрии «Альмагеста» и «Аналеммы», однако ни одной их собственной работы, развивающей теорию этого раздела тригонометрии, не обнаружено[35]. Тем не менее в разработке прикладных алгоритмов решения астрономических задач индийцы достигли больших успехов[30]. Например, в «Панча-сиддхантике» Варахамихиры (VII в.) даётся оригинальное решение астрономической задачи, описанной у Птолемея: найти высоту Солнца над горизонтом, если известны широта местности, склонение Солнца и его часовой угол. Автор для решения применяет аналог теоремы косинусов[36], он же впервые привёл формулу для синуса половинного угла[37].

Статуя Ариабхаты. Индийский межуниверситетский центр астрономии и астрофизики (IUCAA)

Для астрономических расчётов был составлен ряд тригонометрических таблиц. Первые (четырёхзначные) таблицы синусов приведены в древней «Сурья-сиддханте» и у Ариабхаты («Ариабхатия», V век). Таблицы Ариабхаты содержат 24 значения синусов и синус-верзусов с интервалом 3°45' (половина шага таблиц у Гиппарха).

Важный вклад в развитие тригонометрии внес Брахмагупта (VII в.), открывший интерполяционную формулу, которая позволила ему получить значения синуса на основе небольшого количества известных значений этой функции[38]. Кроме того, индийцы знали формулы для кратных углов ${\displaystyle \sin n\varphi }$, ${\displaystyle \cos n\varphi }$ для ${\displaystyle n=2,3,4,5}$. В «Сурья-сиддханте» и в трудах Брахмагупты при решении задач фактически используется сферический вариант теоремы синусов, однако общая формулировка этой теоремы в Индии так и не появилась[39]. Историки нашли в индийских трудах неявное использование тангенсов, но важность этого понятия была осознана только позже, математиками исламских стран[30].

В трудах другого выдающегося ученого, Бхаскары II (XII век), приводятся формулы для синуса и косинуса суммы и разности углов:

${\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta ,}$

а также формула для малого приращения синуса:

${\displaystyle \sin \alpha -\sin \beta \approx (\alpha -\beta )\cos \beta }$

(при ${\displaystyle \alpha \approx \beta }$), соответствующая современному выражению для дифференциала синуса. Опираясь на формулу синуса суммы, Бхаскара опубликовал более точные и подробные, чем у Ариабхаты, тригонометрические таблицы с шагом 1°[40].

В XI веке мусульмане (Махмуд Газневи) захватили и разорили Северную Индию. Культурные центры переместились в Южную Индию, где образуется так называемая «керальская школа астрономии и математики» (по названию современного штата Керала на юге Индии)[41]. В XV—XVI веках математики Кералы в ходе астрономических исследований добились больших успехов в области суммирования бесконечных числовых рядов, в том числе для тригонометрических функций[39]. В анонимном трактате «Каранападдхати» («Техника вычислений») даны правила разложения синуса и косинуса в бесконечные степенные ряды[42], восходящие, вероятно, к основателю этой школы астроному Мадхаве из Сангамаграмы (1-я половина XV века)[43]. Мадхава и его последователь Нилаканта (в трактате «Taнтpacaнrpaха») приводят также правила разложения арктангенса в бесконечный степенной ряд. В Европе к подобным результатам подошли лишь в XVII—XVIII веках. Так, ряды для синуса и косинуса вывел Исаак Ньютон около 1666 года, а ряд арктангенса был найден Дж. Грегори в 1671 году и Г. В. Лейбницем в 1673 году[44].

В VIII веке учёные стран Ближнего и Среднего Востока познакомились с трудами древнегреческих и индийских математиков и астрономов. Переводом их на арабский язык занимались такие крупные учёные VIII века, как Ибрахим Ал-Фазари и Якуб ибн Тарик. Далее они и их последователи стали активно комментировать и развивать эти теории. Опорной конструкцией у исламских учёных, как и у индийцев, был синус в треугольнике, или, что то же самое, полухорда в круге[35].

Их астрономические трактаты, аналогичные индийским сиддхантам, назывались «зиджи»; типичный зидж представлял собой сборник астрономических и тригонометрических таблиц, снабжённый руководством по их использованию и (не всегда) изложением общей теории[45]. Сравнение зиджей периода VIII—XIII веков показывает быструю эволюцию тригонометрических знаний. Предметом особого внимания ученых стран ислама была сферическая тригонометрия, методы которой использовались для решения задач астрономии и геодезии[46]. Среди основных решаемых проблем были следующие[47][45].

 — Точное определение времени суток.

 — Вычисление будущего расположения небесных светил, моментов их восхода и заката, затмений Солнца и Луны.

 — Нахождение географических координат текущего места.

 — Вычисление расстояния между городами с известными географическими координатами.

 — Определение направления на Мекку (кибла) из заданного места.

Определение тангенса, котангенса, секанса и косеканса в средневековой арабской математике. Отрезок AD — гномон (вертикальный вверху или горизонтальный внизу), отрезок OD — его тень

Самые ранние из сохранившихся трудов принадлежат ал-Хорезми и ал-Марвази (IX век), которые рассмотрели, наряду с известными ещё индийцам синусом и косинусом, новые тригонометрические функции: тангенс, котангенс, секанс и косеканс[34]. Изначально эти функции определялись иначе, чем в современной математике. Так, под котангенсом понималась длина тени от вертикального гномона высотой 12 (иногда 7) единиц; первоначально эти понятия использовались для расчёта солнечных часов. Тангенсом называлась тень от горизонтального гномона. Косекансом и секансом назывались гипотенузы соответствующих прямоугольных треугольников (отрезки AO на рисунке справа)[48]. Лишь в X веке философ и математик ал-Фараби в своих комментариях к «Альмагесту» ввёл независимые от гномоники определения этих четырёх функций, определив их через синус и косинус в тригонометрическом круге птолемеевского радиуса (60 единиц). Основные соотношения между всеми шестью функциями привёл ал-Баттани в том же столетии. Окончательной унификации добился Абу-л-Вафа во второй половине X века, который впервые использовал для определения тригонометрических функций круг единичного радиуса, как это делается в современной математике.

Сабит ибн Курра (IX век) и ал-Баттани (X век) первыми открыли фундаментальную теорему синусов для частного случая прямоугольного сферического треугольника. Для произвольного сферического треугольника доказательство было найдено (разными способами и, вероятно, независимо друг от друга) Абу-л-Вафой, ал-Худжанди и ибн Ираком в конце X века[11]. В другом трактате ибн Ирака сформулирована и доказана теорема синусов для плоского треугольника[49].

Сферическая теорема косинусов в общем виде сформулирована в странах ислама не была, однако в трудах Сабита ибн Курры, ал-Баттани и других астрономов имеются эквивалентные ей утверждения. Вероятно, поэтому Региомонтан, впервые давший общую формулировку этой важного соотношения (XV век), назвал его «теоремой Альбатегния» (так тогда в Европе называли ал-Баттани)[50].

Ибн Юнис (X век) открыл преобразование произведения тригонометрических функций в сумму[51], например:

${\displaystyle \sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2}},}$

Формулы преобразования позволяли заменить трудоёмкое умножение на более простое сложение или вычитание. Впоследствии в Европе эти же формулы использовали для противоположной цели — замены сложения и вычитания на умножение, чтобы затем для вычисления результата применить логарифмические таблицы[52].

Одной из важнейших задач науки того времени являлось составление тригонометрических таблиц с как можно меньшим шагом. В IX веке ал-Хорезми составил таблицы синусов с шагом 1°, его современник Хаббаш аль-Хасиб (ал-Марвази) добавил к ним первые таблицы тангенсов, котангенсов и косекансов (с тем же шагом)[34]. В начале X века ал-Баттани опубликовал таблицы с шагом 30', в конце того же столетия Ибн Юнис составил таблицы с шагом 1'[53]. При составлении таблиц ключевым было вычисление значения ${\displaystyle \sin 1^{\circ }}$. Искусные методы для вычисления этой величины изобрели Ибн Юнис, Абу-л-Вафа, ал-Бируни. Наибольшего успеха добился в XV веке ал-Каши; в одной из своих работ он подсчитал, что ${\displaystyle \sin 1^{\circ }\approx 0{,}017452406437283571}$ (все знаки верны). В составленных при его участии «Астрономических таблицах» Самаркандской обсерватории Улугбека таблицы синусов вычислены с шестью шестидесятеричными знаками[54], с шагом 1'. Султан Улугбек лично участвовал в этой работе: он написал специальный трактат о вычислении синуса угла в 1°.

Ал-Бируни на иранской марке 1973 г.

Первым специализированным трактатом по тригонометрии было сочинение среднеазиатского учёного ал-Бируни (X—XI век) «Книга ключей науки астрономии» (995—996 годы). Целый курс тригонометрии содержал главный труд ал-Бируни — «Канон Мас‘уда» (книга III). В дополнение к таблицам синусов (с шагом 15') Ал-Бируни дал таблицы тангенсов (с шагом 1°). Идеологически труды Бируни близки к птолемеевским — на языке хорд он формулирует теоремы о синусе удвоенного и половинного угла, синусе суммы и разности углов[55]. Среди приложений книга Ал-Бируни показывает построение правильного вписанного девятиугольника и приближённое вычисление длины его стороны; этот алгоритм он использует для нахождения ${\displaystyle \sin 1^{\circ }}$. В другом труде, «Геодезия», Бируни сообщил результаты собственных измерений длины земного меридиана, из которых следует оценка радиуса Земли, близкая к истинной (в пересчёте к метрической системе, Бируни получил 6340 км)[56].

Фундаментальное изложение тригонометрии как самостоятельной науки (как плоской, так и сферической) дал персидский математик и астроном Насир ад-Дин ат-Туси в 1260 году[57]. Его «Трактат о полном четырёхстороннике» содержит практические способы решения типичных задач, в том числе труднейших, решенных самим ат-Туси — например, построение сторон сферического треугольника по заданным трём углам[58]. Приведена теорема тангенсов для сферических треугольников, описано важное понятие полярного треугольника (впервые использованное в XI веке Ибн Ираком и ал-Джайяни). Сочинение ат-Туси стало широко известно в Европе и существенно повлияло на развитие тригонометрии.

Таким образом, к концу XIII века были открыты базовые теоремы, составляющие содержание тригонометрии:

 — Выражение любой тригонометрической функции через любую другую.

 — Формулы для синусов и косинусов кратных и половинных углов, а также для суммы и разности углов.

 — Теоремы синусов и косинусов.

 — Решение плоских и сферических треугольников

Из-за отсутствия алгебраической символики все перечисленные теоремы выражались в громоздкой словесной форме, но по существу были полностью эквивалентны современному их пониманию.

Геодезические измерения (XVII век)

После того как арабские трактаты были в XII—XIII веках переведены на латынь, многие идеи индийских и персидских математиков стали достоянием европейской науки. По всей видимости, первое знакомство европейцев с тригонометрией состоялось благодаря зиджу ал-Хорезми, два перевода которого были выполнены в XII веке. Первоначально сведения о тригонометрии (правила её использования, таблицы некоторых тригонометрических функций) приводились в сочинениях по астрономии, однако в сочинении Фибоначчи «Практика геометрии», написанном около 1220 года, тригонометрия излагается как часть геометрии. Первым европейским сочинением, целиком посвященным тригонометрии, часто называют «Четыре трактата о прямых и обращенных хордах» английского астронома Ричарда Уоллингфордского (около 1320 г.). Книга содержит доказательство ряда тригонометрических тождеств и оригинальный метод вычисления синусов. Примерно в те же годы был написан трактат еврейского математика Леви бен Гершома (Герсонида) «О синусах, хордах и дугах», переведённый на латинский язык в 1342 году[59]. Книга содержит доказательство теоремы синусов и пятизначные таблицы синусов[60]. Тригонометрия затрагивается в «Теоретической геометрии» английского математика Томаса Брадвардина (написана в первой половине XIV в., опубликована в 1495 году). Тригонометрические таблицы, чаще переводные с арабского, но иногда и оригинальные, содержатся в сочинениях ряда других авторов XIV—XV веков. Тогда же тригонометрия заняла место среди университетских курсов.

Крупным достижением стала монография Региомонтана «Пять книг о треугольниках всех видов» (опубл. 1462—1464), в которой были сведены все известные к этому моменту знания по плоской и сферической тригонометрии и приложены семизначные таблицы синусов (с шагом 1') и тангенсов (с шагом 1°). Немаловажно и то, что в таблицах Региомонтана, в нарушение астрономической традиции, впервые использовалась десятичная система (а не архаичная шестидесятеричная). Радиус тригонометрического круга Региомонтан принял равным ${\displaystyle 10^{7}}$, чтобы табличные значения были представлены целыми числами (десятичные дроби вошли в обиход несколько позднее, причём мощным стимулом к их применению стали именно тригонометрические вычисления[61]).

По сравнению с трактатом ат-Туси сочинение Региомонтана существенно полнее, оно содержит ряд новых задач, решённых оригинальными методами. Например, показывается, как построить треугольник, если известны одна его сторона, длина опущенной на неё высоты и противолежащий угол[62].

Развитие тригонометрии в Новое время стало чрезвычайно важным не только для астрономии и астрологии, но и для других приложений, в первую очередь артиллерии, оптики и навигации при дальних морских путешествиях. Поэтому после XVI века этой темой занимались многие выдающиеся учёные, в том числе Николай Коперник, Иоганн Кеплер, Франсуа Виет[63]. Коперник посвятил тригонометрии две главы в своём трактате «О вращении небесных сфер» (1543). Вскоре (1551) появились 15-значные тригонометрические таблицы Ретика, ученика Коперника, с шагом 10"[64]. Кеплер опубликовал труд «Оптическая часть астрономии» (1604).

Потребность в сложных тригонометрических расчётах вызвала в начале XVII века открытие логарифмов, причём первые логарифмические таблицы Джона Непера содержали только логарифмы тригонометрических функций. Среди других открытий Непера — эффективный алгоритм решения сферических треугольников, получивший название «формулы аналогии Непера»[65].

Термин «тригонометрия» как название математической дисциплины ввёл в употребление немецкий математик Б. Питискус, опубликовавший в 1595 году книгу «Тригонометрия, или краткий и ясный трактат о решении треугольников» (лат. Trigonometria: sive de solutione triangulorum tractatus brevis et perspicuus). К концу XVII века появились современные названия тригонометрических функций. Термин «синус» впервые употребил около 1145 года английский математик и арабист Роберт Честерский[31]. Региомонтан в своей книге назвал косинус «синусом дополнения» (лат. sinus complementi), поскольку ${\displaystyle \cos x=\sin(90^{\circ }-x)}$; его последователи в XVII веке сократили это обозначение до co-sinus (Эдмунд Гунтер)[63], а позднее — до cos (Уильям Отред). Названия тангенса и секанса предложил в 1583 году датский математик Томас Финке[63], а упомянутый выше Эдмунд Гунтер ввёл названия котангенса и косеканса. Термин «тригонометрические функции» впервые употребил в своей «Аналитической тригонометрии» (1770) Георг Симон Клюгель[66].

Стандартные обозначения в треугольнике

Томас Финке предложил оригинальное решение геодезической задачи: найти углы треугольника, если известна их сумма ${\displaystyle \alpha +\beta }$ и отношение противолежащих сторон ${\displaystyle a:b}$. Для решения Финке использовал формулу Региомонтана (см. рисунок)[67]:

${\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\operatorname {tg} {\frac {\alpha +\beta }{2}}}{\operatorname {tg} {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}}$

Виет в первой части своего «Математического канона» (1579) поместил разнообразные таблицы, в том числе тригонометрические, а во второй части дал обстоятельное и систематическое, хотя и без доказательств, изложение плоской и сферической тригонометрии. В 1593 году Виет подготовил расширенное издание этого капитального труда. «Несомненно, что самый интерес его к алгебре первоначально был вызван возможностью приложений к тригонометрии и астрономии»[68]. Другой важной заслугой Виета стало применение в тригонометрии разработанной им общей алгебраической символики; если ранее решение задачи понималось как геометрическое построение, то начиная с работ Виета приоритет начинает переходить к алгебраическим вычислениям[69]. Появление символики позволило записать в компактном и общем виде тригонометрические тождества — например, формулы для кратных углов[70]:

${\displaystyle \cos m\alpha =\cos ^{m}\alpha -{\frac {m(m-1)}{1\cdot 2}}\cos ^{m-2}\alpha \cdot \sin ^{2}\alpha +\dots }$

${\displaystyle \sin m\alpha =m\cos ^{m-1}\alpha \cdot \sin \alpha -{\frac {m(m-1)(m-2)}{1\cdot 2\cdot 3}}\cos ^{m-3}\alpha \cdot \sin ^{3}\alpha +\dots }$

Надо оговориться, что сам Виет ещё дал эти формулы частично в словесном описании, но при этом ясно указал на связь коэффициентов формул с биномиальными коэффициентами и привёл таблицу их значений для небольших значений ${\displaystyle m}$[68].

Из других достижений Виета[71]: в работе «Дополнение к геометрии» Виет указал тригонометрический способ решения кубического уравнения для самого трудного в тот период — неприводимого — случая (стандартная формула требует умения работать с корнями из комплексных чисел). Виет дал первое в истории бесконечное произведение:

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}=\cos {\frac {90^{\circ }}{2}}\cdot \cos {\frac {90^{\circ }}{4}}\cdot \cos {\frac {90^{\circ }}{8}}\dots }$

Измерение высоты

Кроме артиллерии и навигации, тригонометрия быстро развивалась и в таких классических областях её применения, как геодезия. Широкое применение тангенсов объяснялось, в частности, простотой измерения с их помощью высоты горы или здания (см. рисунок):

${\displaystyle h={\frac {\operatorname {tg} \alpha \ \operatorname {tg} \beta }{\operatorname {tg} \beta -\operatorname {tg} \alpha }}\,l}$

В 1615 году Снеллиус нашёл решение «задачи Снеллиуса-Потенота»: найти точку, из которой стороны данного (плоского) треугольника видны под заданными углами. Он открыл закон преломления света: для заданных исходной и преломляющей среды отношение синусов угла падения и угла преломления постоянно. Тем самым Снеллиус открыл дорогу новым применениям тригонометрических функций в оптике, а изобретение в эти же годы первых телескопов придало этому открытию особую важность.

Синусоида в книге Альбрехта Дюрера (1525)

Первый график синусоиды появился в книге Альбрехта Дюрера «Руководство к измерению циркулем и линейкой» (нем. Underweysung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheyt, 1525 год)[72]. В 1630-х годах Жиль Роберваль, в ходе своих исследований циклоиды, независимо вычертил синусоиду[73], он же опубликовал формулу тангенса двойного угла[52]. Джон Валлис в своей «Механике» (1670), опередив своё время, правильно указал знаки синуса во всех квадрантах и указал, что у синусоиды бесконечно много «оборотов». График тангенса для первого квадранта впервые начертил Джеймс Грегори (1668)[74].

Во второй половине XVII века началось стремительное развитие общей теории квадратур (то есть вычисления площади), завершившееся появлением в конце века математического анализа. Для тригонометрических функций важные результаты в начале этого периода получил Блез Паскаль (опубликованы в его книге «Письма А. Деттонвилля о некоторых его геометрических открытиях», 1659 год). В современной терминологии, Паскаль вычислил интегралы от натуральных степеней синуса и косинуса и некоторые связанные с ними[75], а также отметил, что ${\displaystyle d(\sin x)=\cos x\ dx}$. Работы в области тригонометрии проводили такие крупные математики XVII века, как Отред, Гюйгенс, Озанам, Валлис. Заметным процессом во второй половине XVII века стала постепенная алгебраизация тригонометрии, совершенствование и упрощение её символики (хотя до Эйлера символика была всё же гораздо более громоздка, чем современная)[76].

После открытия математического анализа сначала Джеймс Грегори, а затем Исаак Ньютон получили разложение тригонометрических функций (а также обратных к ним) в бесконечные ряды. Ньютон посвятил проблемам геометрии и тригонометрии 10 задач в своей книге «Универсальная арифметика»[77]. Например, в задаче X требуется «решить треугольник», если известны одна его сторона, противолежащий угол и сумма двух других сторон. Предложенный Ньютоном метод решения представляет собой одну из формул Мольвейде[78].

Лейбниц строго доказал, что ${\displaystyle \sin x}$ не может быть, вообще говоря, алгебраически выражен через ${\displaystyle x}$, то есть, в современной терминологии, тригонометрические функции трансцендентны[79].

Важными открытиями в начале XVIII века стали:

 — Открытие и широкое распространение радианной меры углов[80] (Роджер Котс, 1714). Сам термин «радиан» появился позднее, его в 1873 году предложил английский инженер Джеймс Томсон[81].

 — Тригонометрическое представление комплексного числа и формула Муавра.

${\displaystyle (\cos \varphi +i\sin \varphi )^{n}=\cos n\varphi +i\sin n\varphi \ }$

 — Начало использования (Ньютон и Грегори) полярной системы координат, связанной с декартовой тригонометрическими соотношениями; в общее употребление эти координаты ввёл Эйлер (1748)[82].

В 1706 году швейцарский математик Якоб Герман опубликовал формулы для тангенса суммы и тангенса кратных углов, а Иоганн Ламберт в 1765 году нашёл чрезвычайно полезные формулы, выражающие разные тригонометрические функции через тангенс половинного угла[83]. Исследуя гиперболические функции (1761), Ламберт показал, что их свойства аналогичны свойствам тригонометрических; причину этого ещё в 1707 году обнаружил Муавр: при замене вещественного аргумента на мнимый круг переходит в гиперболу, а тригонометрические функции — в соответствующие гиперболические[84].

Немецкий математик Фридрих Вильгельм фон Оппель в книге «Анализ треугольников» (1746) опубликовал в современной записи обе формулы Мольвейде[85].

В книге «Полигонометрия» (1789) Симон Люилье обобщил тригонометрические соотношения для треугольников, дав их аналоги для произвольных многоугольников, включая пространственные. В работах на эту тему Люилье привёл основную теорему полигонометрии: площадь каждой грани многогранника равна сумме произведений площадей остальных граней на косинусы углов, образуемых ими с первой гранью. Он рассмотрел способы «решения многоугольников» с ${\displaystyle n}$ сторонами при различных постановках задачи: заданы ${\displaystyle n-1}$ сторона и ${\displaystyle n-2}$ угла, или все углы и ${\displaystyle n-2}$ стороны, или все стороны и ${\displaystyle n-3}$ угла[86].

В 1798 году Лежандр доказал, что если размеры сферического треугольника малы по сравнению с радиусом сферы, то при решении тригонометрических задач можно применять формулы плоской тригонометрии, вычтя при этом из каждого угла треть сферического избытка[87].

Манера обозначать обратные тригонометрические функции с помощью приставки arc (от лат. arcus — дуга) появилась у австрийского математика Карла Шерфера (Karl Scherffer, 1716—1783) и закрепилась благодаря Лагранжу. Имелось в виду, что, например, обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду, а обратная функция решает противоположную задачу. Английская и немецкая математические школы до конца XIX века предлагали иные обозначения: ${\displaystyle \sin ^{-1},{\frac {1}{\sin }}}$, но они не прижились[88].

Леонард Эйлер

Современный вид тригонометрии придал Леонард Эйлер. В трактате «Введение в анализ бесконечных» (1748) Эйлер дал определение тригонометрических функций, эквивалентное современному[77], и соответственно определил обратные функции. Если его предшественники понимали синус и прочие понятия геометрически, то есть как линии в круге или треугольнике, то после работ Эйлера ${\displaystyle \sin x,~\cos x,~\operatorname {tg} x}$ и т. д. стали рассматриваться как безразмерные аналитические функции действительного и комплексного переменного. Для комплексного случая он установил связь тригонометрических функций с показательной функцией (формула Эйлера). Подход Эйлера с этих пор стал общепризнанным и вошёл в учебники.

Эйлер рассматривал как допустимые отрицательные углы и углы, большие 360°, что позволило определить тригонометрические функции на всей вещественной числовой прямой, а затем продолжить их на комплексную плоскость. Когда встал вопрос о распространении тригонометрических функций на тупые углы, знаки этих функций до Эйлера нередко выбирались ошибочно; многие математики считали, например, косинус и тангенс тупого угла положительными[73]. Эйлер определил эти знаки для углов в разных координатных квадрантах, исходя из формул приведения[89].

Эйлер впервые представил разложение тригонометрических функций в бесконечные произведения (1734), откуда вывел ряды для их логарифмов[90].

В других трудах, в первую очередь «Основания сферической тригонометрии, выведенные из метода максимумов и минимумов» (1753) и «Всеобщая сферическая тригонометрия, кратко и ясно выведенная из первых оснований» (1779), Эйлер впервые дал полное систематическое изложение сферической тригонометрии на аналитическом основании[91], причём многие крупные результаты принадлежат самому Эйлеру.

В середине XVIII века разгорелся важнейший по своим последствиям «спор о струне»[92]. Эйлер в полемике с Даламбером предложил более общее определение функции, чем принималось ранее; в частности, функция может быть задана тригонометрическим рядом. В своих трудах Эйлер использовал несколько представлений алгебраических функций в виде ряда из кратных аргументов тригонометрических функций, например[93]:

${\displaystyle {\frac {\pi -x}{2}}=\sin x+{\frac {\sin 2x}{2}}+{\frac {\sin 3x}{3}}\dots }$

Общей теорией тригонометрических рядов Эйлер не занимался и сходимость полученных рядов не исследовал, но получил несколько важных результатов. В частности, он вывел разложения целых степеней синуса и косинуса[93].

В России первые сведения о тригонометрии были опубликованы в сборнике «Таблицы логарифмов, синусов и тангенсов к изучению мудролюбивых тщателей», опубликованном при участии Л. Ф. Магницкого в 1703 году[94]. В 1714 году появилось содержательное руководство «Геометрия практика», первый русский учебник по тригонометрии, ориентированный на прикладные задачи артиллерии, навигации и геодезии[95]. Завершением периода освоения тригонометрических знаний в России можно считать фундаментальный учебник академика М. Е. Головина (ученика Эйлера) «Плоская и сферическая тригонометрия с алгебраическими доказательствами» (1789).

В конце XVIII века в Петербурге возникла авторитетная тригонометрическая школа (А. И. Лексель, Н. И. Фусс, Ф. И. Шуберт), которая внесла большой вклад в плоскую и сферическую тригонометрию[66].

В начале XIX века Н. И. Лобачевский добавил к плоской и сферической тригонометрии третий раздел — гиперболическую (для геометрии Лобачевского, первую работу в этой области опубликовал Ф. А. Тауринус в 1826 году). Лобачевский показал, что формулы сферической тригонометрии переходят в формулы гиперболической тригонометрии при замене длин сторон треугольника a, b, c на мнимые величины: ai, bi, ci — или, что эквивалентно, при замене тригонометрических функций на соответствующие гиперболические[96].

В XIX—XX веках бурное развитие получили теория тригонометрических рядов и связанные с ней области математики: гармонический анализ, теория случайных процессов, кодирование аудио и видеоинформации и другие. Ещё Даниил Бернулли высказал убеждение, что любую (непрерывную) функцию на заданном промежутке можно представить тригонометрическим рядом[97]. Дискуссии продолжались до 1807 года, когда Фурье опубликовал теорию представления произвольных кусочно-аналитических функций тригонометрическими рядами (окончательный вариант содержится в его «Аналитической теории тепла», 1822)[92]. Для разложения функции ${\displaystyle f(x)}$ в ряд:

${\displaystyle f(x)=a_{0}+\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos {nx}+b_{n}\sin {nx}).}$

Фурье привёл интегральные формулы расчёта коэффициентов[92]:

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\pi }}\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }\!f(x)\cos {nx}\,dx\quad (n=0,1,2,\dots );\quad b_{n}={\frac {1}{\pi }}\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }\!f(x)\sin {nx}\,dx\quad (n=1,2,3,\dots )}$

Изложение Фурье не было строгим в современном понимании, но уже содержало исследование сходимости большинства полученных им рядов. Для функций, заданных на всей числовой прямой и не являющихся периодическими, Фурье предложил разложение в интеграл Фурье.

Универсальность и эффективность методов анализа Фурье произвели большое впечатление на научный мир. Если ранее тригонометрические ряды использовались в математической физике преимущественно для изучения периодических процессов (колебания струны, небесная механика, движение маятника и т. п.), то в труде Фурье исследовались процессы совсем иного рода (теплопередача), и тригонометрические ряды помогли получить ценные практические результаты. С этого момента тригонометрические ряды и интегралы стали мощным инструментом анализа разнообразных функций. Результаты Фурье продолжили и углубили Пуассон и Коши, вопрос сходимости рядов детально исследовали Дирихле и другие математики[98]. Риман в своей диссертации исследовал произвольные тригонометрические ряды, не обязательно связанные с разложением какой-либо функции (1853), сформулировал для них «принцип локализации». Вопрос о представимости произвольной измеримой и конечной почти всюду функции тригонометрическим рядом (который не обязательно совпадает с её рядом Фурье) был решён в 1941 году теоремой Меньшова.

Исследуя множества особых точек для тригонометрических рядов, Георг Кантор разработал фундаментальную для всей математики теорию множеств[99]. Огромное влияние теория тригонометрических рядов оказала на развитие комплексного анализа, математической физики, электроники и многих других разделов науки[92]. Теория функций вещественного переменного, теория меры и интеграл Лебега появились и далее развивались в тесной связи с теорией тригонометрических рядов[92][100]. Важные практические применения имеет приближение функций конечными тригонометрическими полиномами[101] (используемое также для интерполирования).