Сферический треугольник

• Помимо трёх признаков равенства плоских треугольников, для сферических треугольников верен ещё один: два сферических треугольника равны, если их соответствующие углы равны[1]^:16. В евклидовой геометрии такие треугольники являются подобными. В сферической геометрии любое преобразование подобия является изометрическим (то есть коэффициент подобия всегда равен единице), поэтому в сферической геометрии нет неравных подобных фигур (то есть фигур, переводящихся друг в друга преобразованием подобия).
• Полярным для данного сферического треугольника (ABC) называется такой сферический треугольник (A’B’C'), вершины которого A', B', C' являются полюсами[lower-alpha 1] по отношению к сторонам BC, CA, AB соответственно. При этом точки A и A', B и B', C и C' лежат по одну сторону относительно BC, CA, AB соответственно.[3]
  • Для любого полярного треугольника выполняются следующие правила: ${\displaystyle K'=\pi -k}$; ${\displaystyle k'=\pi -K}$, где угол ${\displaystyle K=\alpha ,\beta ,\gamma }$ и сторона ${\displaystyle k=a,b,c}$.
  • Сферический треугольник, все стороны которого равны прямому углу, будет полярным к самому себе.
  • Полярный треугольник, построенный к полярному треугольнику для некоего сферического, совпадает с исходным.

• Для сторон сферического треугольника выполняются 3 неравенства треугольника: каждая сторона меньше суммы двух других сторон и больше их разности[1]^:11.

• Сумма всех сторон ${\displaystyle a+b+c}$ всегда меньше ${\displaystyle 2\pi }$[1]^:11.
  • Величина ${\displaystyle 2\pi -(a+b+c)}$ называется сферическим дефектом[4][5].

• Сумма углов сферического треугольника ${\displaystyle s=\alpha +\beta +\gamma }$ всегда меньше ${\displaystyle 3\pi }$ и больше ${\displaystyle \pi }$[6][7][1]^:14—15.
  • Величина ${\displaystyle s-\pi =\varepsilon }$ называется сферическим избытком или сферическим эксцессом[4].
  • Площадь сферического треугольника определяется по формуле ${\displaystyle S=R^{2}\varepsilon =R^{2}(\alpha +\beta +\gamma -\pi )}$. Пропорциональность площади сферическому избытку следует из покрытия сферы тремя двуугольниками, образующими сферический треугольник.[8][9][1]^:44

• Если от двух углов сферического треугольника отнимем третий, получим угол, меньший ${\displaystyle \pi }$[1]^:15.
• В отличие от плоского треугольника, у сферического треугольника может быть два или три прямых или тупых угла.

Прямоугольный сферический треугольник полностью определяется двумя элементами, остальные три находятся при помощи мнемонического правила Непера. А чтобы решить косоугольный сферический треугольник, необходимо знать три его элемента. Для решения можно использовать следующие соотношения между ними[1]^:102—139:

• Формула половины стороны и формула половины угла — при решении по трём сторонам и трём углам;
• Формулы аналогии Непера — при решении по двум сторонам и углу между ними и по двум углам и прилежащей к ним стороне;
• Теорема синусов и формулы аналогии Непера — при решении по двум сторонам и противолежащему одной из них углу и по двум углам и противолежащей одному из них стороне.

• Прасолов В. В. Геометрия Лобачевского. — М., 1995. (§ 1. Сферическая геометрия.)
• Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии // Энциклопедия элементарной математики. — Физматгиз, 1963. — Т. 4 (геометрия). — С. 518—558.

• Краткий справочник по сферической тригонометрии
• Статья на Wolfram MathWorld