Мнемоническое правило Непера

Докажем одну формулу для трёх смежных элементов прямоугольного сферического треугольника и одну формулу для двух смежных и одного отдельного элемента[2], а затем для обоснования мнемонического правила Непера (а одновременно — и доказательства самих формул), дающего все десять таких формул для прямоугольного сферического треугольника, применим к этим двум формулам, следуя Ламберту, звёздчатый пятиугольник[3].

Рисунок к выводу формулы, связывающей три смежных элемента c, a, B прямоугольного сферического треугольника.

Возьмём два катета a и b (смежные элементы) и гипотенузу c (отдельный элемент). Их связывает сферическая теорема Пифагора, которая доказывается в статье о ней. Поэтому здесь доказывать в этом случае практически ничего не надо. Заметим лишь, что

${\displaystyle \cos c=\cos a\cos b=\sin(90^{\circ }-a)\sin(90^{\circ }-b)=\sin {\overline {a}}\sin {\overline {b}},}$

то есть для этих трёх элементов мнемоническое правило Непера справедливо. Выведем теперь формулу для трёх смежных элементов. Возьмём гипотенузу c, катет a и угол B. Как и в доказательстве сферической теоремы Пифагора, рассмотрим трёхгранный угол OA₁B₁C₁ со сторонами (лучами) OA₁, OB₁, OC₁ и вершиной в точке O, соответствующий данному прямоугольному сферическому треугольнику ABC.

Звёздчатый пятиугольник, с помощью которого обосновывается мнемоническое правило Непера.

Заметим, что

${\displaystyle {\frac {A_{1}B_{1}}{B_{1}O}}=\mathrm {tg} \,\angle A_{1}OB_{1}=\mathrm {tg} \,c,}$

${\displaystyle {\frac {C_{1}B_{1}}{B_{1}O}}=\mathrm {tg} \,\angle B_{1}OC_{1}=\mathrm {tg} \,a,}$

${\displaystyle {\frac {C_{1}B_{1}}{A_{1}B_{1}}}=\cos \angle A_{1}B_{1}C_{1}=\cos B.}$

Отсюда

${\displaystyle \mathrm {tg} \,a={\frac {C_{1}B_{1}}{B_{1}O}}={\frac {A_{1}B_{1}}{B_{1}O}}\cdot {\frac {C_{1}B_{1}}{A_{1}B_{1}}}=\mathrm {tg} \,c\cos B,}$

${\displaystyle \cos B={\frac {\mathrm {tg} \,a}{\mathrm {tg} \,c}}=\mathrm {ctg} \,(90^{\circ }-a)\mathrm {ctg} \,c=\mathrm {ctg} \,{\overline {a}}\,\mathrm {ctg} \,c,}$

то есть и для этих трёх элементов мнемоническое правило Непера справедливо. Обе формулы доказаны. Остаётся применить звёздчатый пятиугольник.

На рисунке дополнения элементов до 90 градусов обозначены апострофами. Строится этот звездчатый пятиугольник следующим образом. На сфере чертится данный сферический треугольник ABC, его вершины A и B — первые две вершины пятиугольника. Далее проводим поляры точек A и B, точка их пересечения, лежащая по другую сторону гипотенузы c от вершины C будет третьей вершиной пятиугольника, а две точки пересечения этих поляр с продолжениями сторон a и b будут остальными двумя вершинами пятиугольника. Продолжения сторон пятиугольника, пересекаясь образуют пять сферических треугольников. Нетрудно видеть, что каждая вершина пятиугольника является полюсом для его противоположной стороны. Поэтому все пять сферических треугольников будут прямоугольными. Отсюда же получаются и величины всех их элементов, обозначенные на рисунке.

Для сферического треугольника ABC выше доказаны две формулы мнемонического правила Непера. Элементы каждого следующего по часовой стрелке прямоугольного сферического треугольника соответствуют элементам предыдущего, повернутым на 2/5 полного оборота, или их дополнениям до 90 градусов. Поэтому, последовательно применяя к соответствующим элементам каждого треугольника полученные две формулы, получаем все 10 формул и такую же форму мнемонического правила Непера для всех из них.