Формула половины стороны

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \left({\frac {a}{2}}\right)&=R\cos(S-\alpha )\\[8pt]\tan \left({\frac {b}{2}}\right)&=R\cos(S-\beta )\\[8pt]\tan \left({\frac {c}{2}}\right)&=R\cos(S-\gamma )\end{aligned}}}$

где

• α, β, γ — это углы сферического треугольника,
• a, b, c — длины сторон, лежащих напротив, соответственно, углов α, β, γ,

• ${\displaystyle S={\frac {1}{2}}(\alpha +\beta +\gamma )}$

полусумма углов треугольника, и

• ${\displaystyle R={\sqrt {\frac {-\cos S}{\cos(S-\alpha )\cos(S-\beta )\cos(S-\gamma )}}}.}$

Интересно, что R является тангенсом радиуса описанной окружности данного сферического треугольника[1]^:78,83. Три формулы на самом деле представляют собой одну и ту же формулу, в которой лишь заменены обозначения соответствующих углов и сторон.

Двойственными к формулам половины стороны являются формулы для половины угла[1]^:74:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tg} \left({\frac {\alpha }{2}}\right)&={\frac {1}{\sin(s-a)}}\cdot r\\[8pt]\operatorname {tg} \left({\frac {\beta }{2}}\right)&={\frac {1}{\sin(s-b)}}\cdot r\\[8pt]\operatorname {tg} \left({\frac {\gamma }{2}}\right)&={\frac {1}{\sin(s-c)}}\cdot r\end{aligned}}}$

где

• ${\displaystyle s={\frac {1}{2}}(a+b+c)}$

полусумма сторон треугольника, и

• ${\displaystyle r={\sqrt {\frac {\sin(s-a)\sin(s-b)\sin(s-c)}{\sin s}}}.}$

Причём в этом случае r будет тангенсом вписанной окружности сферического треугольника[1]^:74.

Аналогичная формула в планиметрии известна под названием теоремы котангенсов.

Формула половины стороны применяется для решения косоугольного сферического треугольника по трём сторонам, то есть когда надо по данным сторонам вычислить каждый из его углов[1]^:102-104. Формула половины угла, в свою очередь, используется для решения косоугольного треугольника по трём углам, то есть когда надо при данных трёх углах вычислить каждую из его сторон[1]^:104-108. Если же у сферического треугольника один из углов прямой, вместо этих формул для его решения применяется более удобное мнемоническое правило Непера.

• Теоремы косинусов (сферическая геометрия)
• Тригонометрические тождества