Сферическая тригонометрия

Пусть угол C — прямой. Тогда имеют место следующие соотношения:

${\displaystyle \operatorname {tg} b=\operatorname {tg} c\cos A,}$

${\displaystyle \operatorname {tg} a=\sin b\operatorname {tg} A,}$

${\displaystyle \sin a=\sin c\sin A,}$

${\displaystyle \operatorname {cos} c=\operatorname {ctg} A\operatorname {ctg} B,}$

${\displaystyle \cos A=\cos a\sin B.}$

Сферические теоремы косинусов

${\displaystyle \cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A,}$

${\displaystyle \cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos a.}$

Сферическая теорема синусов

${\displaystyle {\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin b}{\sin B}}={\frac {\sin c}{\sin C}},\sin ^{2}A>0,\sin ^{2}B>0,\sin ^{2}C>0.}$

Первая и вторая сферические теоремы косинусов двойственны по отношению друг к другу. Сферическая теорема синусов двойственна по отношению к самой себе.

Формула пяти элементов

${\displaystyle \sin a\cos C=\sin b\cos c-\cos b\sin c\cos A.}$

${\displaystyle \sin A\cos c=\sin B\cos C+\cos B\sin C\cos a,}$

Указанные две формулы так же двойственны друг к другу.