Задача Потенота

Задача Потенота (обратная геодезическая засечка) — одна из классических математических задач определения местоположения точки на местности по трём ориентирам с известными координатами; возникает, например, при определении местоположения корабля в море по трём маякам, расстояние до которых неизвестно. Имеет более 100 аналитических и графических способов решения и является частным случаем и обобщением задач трилатерации и триангуляции. Приобрела важное практическое значение в самых разных областях (геодезии, навигации, корректировке ракетно-артиллерийского огня[1]) и не потеряла актуальности по настоящее время.

Формулировка задачи Потенота

Найти точку плоскости, из которой стороны данного (плоского) треугольника видны под заданными углами.

Замечание. Если все эти углы равны между собой и равны 120 градусам, то искомая точка есть Точка Торричелли. Определяемая точка при этом не должна находиться вблизи окружности, проходящей через три исходных пункта[2].

История

Впервые решить задачу аналитически удалось голландскому математику Снеллиусу в 1616 году. Однако в 1692 году французский математик Л. Потенот (1660—1732) предложил более удачное решение этой задачи, которая впоследствии получила его имя[3]. В разное время ею занимались картографы И. Г. Леман (1765—1811), А. П. Болотов (1803—1853), А. Д. Моторный (1891—1964) и др.

Порядок решение задачи способом Деламбра

1. Вычисляют дирекционный угол направления с исходного пункта 1 на определяемую точку «0» по формуле:[4]

$\mathrm {tg} \alpha _{1-0}={\frac {\Delta Y_{2-1}*{\operatorname {ctg} \beta _{1}}+\Delta Y_{1-3}*{\operatorname {ctg} \beta _{2}}-x_{2}+x_{3}}{\Delta X_{2-1}*{\operatorname {ctg} \beta _{1}}+\Delta X_{1-3}*{\operatorname {ctg} \beta _{2}}+y_{2}-y_{3}}}$ .

2. Определяют дирекционные углы направлений с других исходных пунктов — 2, 3, 4.

$\mathrm {tg} \alpha _{2-0}=a_{1-0}+\beta _{1}$

$\mathrm {tg} \alpha _{3-0}=a_{1-0}+\beta _{2}$

$\mathrm {tg} \alpha _{4-0}=a_{1-0}+\beta _{3}$

3. Используя формулы тангенсов или котангенсов дирекционных углов направлений с исходных пунктов на определяемую точку Р, вычисляют координаты точки Р в двух комбинациях. Вторая комбинация является независимой и контрольной.

I комбинация

$\mathrm {x} _{0}={\frac {x_{1}*{\operatorname {tg} \alpha _{1-0}}-x_{2}*{\operatorname {tg} \alpha _{2-0}}-y_{1}+y_{2}}{\operatorname {tg} \alpha _{1-0}-\operatorname {tg} \alpha _{2-0}}}$ .

$\mathrm {y'} _{0}={y_{1}+\Delta X_{1-0}*{\operatorname {tg} \alpha _{1-0}}}$ .

$\mathrm {y''} _{0}={y_{2}+\Delta X_{2-0}*{\operatorname {tg} \alpha _{2-0}}}$ .

II комбинация

$\mathrm {x} _{0}={\frac {x_{3}*{\operatorname {tg} \alpha _{3-0}}-x_{4}*{\operatorname {tg} \alpha _{4-0}}-y_{3}+y_{4}}{\operatorname {tg} \alpha _{3-0}-\operatorname {tg} \alpha _{4-0}}}$ .

$\mathrm {y'} _{0}={y_{3}+\Delta X_{3-0}*{\operatorname {tg} \alpha _{3-0}}}$ .

$\mathrm {y''} _{0}={y_{4}+\Delta X_{4-0}*{\operatorname {tg} \alpha _{4-0}}}$ .

Примечания

Справочник командира взвода управления батареи дивизионной артиллерии. — Москва: Военное издательство Народного Комиссариата Обороны, 1943.
В.Д. Большаков, Е.Б. Клюшин, И.Ю. Васютинский Под Редакцией В.П. Савинных и В.Р. Ященко. [Общие принципы создания планово-высотного обоснования для топографо-геодезических изысканий 4.2 Съемочная геодезическая сеть] // Геодезия изыскания и проектирование инженерных сооружений. — Москва: "Недра", 1991. — С. 79. — 237 с.
Н. Л.С. Хренов. Задача Потенота // «Квант» : науч.-поп. физ.-мат. журн. — М.: «Наука», 1973. — № 4. — С. 30—34. — ISSN 0130-2221.
Пример 9. Обратная геодезическая засечка (задача Потенота) — Геодезическое обеспечение строительства

Литература

Моторный A. Д. Задача Потенота (аналитическое решение) / / Научные записки ЛПИ, серия геодезическая № 1. — 1949. — Вып. XV. — С. 165—171.
Обратная однократная засечка // Справочник геодезиста. книга 2 / Под ред. В. Д. Большакова и Г. П. Левчука. — 3-е изд. переаб и доп.. — Москва: Недра, 1985. — С. 194. — 440 с.

Ссылки

Геодезическая терминология на сайте www.geodezist.info

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Справочник командира взвода управления батареи дивизионной артиллерии. — Москва: Военное издательство Народного Комиссариата Обороны, 1943.

[2] В.Д. Большаков, Е.Б. Клюшин, И.Ю. Васютинский Под Редакцией В.П. Савинных и В.Р. Ященко. [Общие принципы создания планово-высотного обоснования для топографо-геодезических изысканий 4.2 Съемочная геодезическая сеть] // Геодезия изыскания и проектирование инженерных сооружений. — Москва: "Недра", 1991. — С. 79. — 237 с.

[3] Н. Л.С. Хренов. Задача Потенота // «Квант» : науч.-поп. физ.-мат. журн. — М.: «Наука», 1973. — № 4. — С. 30—34. — ISSN 0130-2221.

[4] Пример 9. Обратная геодезическая засечка (задача Потенота) — Геодезическое обеспечение строительства