Трилатерация

В геометрии трёхмерная проблема трилатерации представляет собой нахождение координат точки пересечения трёх сфер, которые определяются путём решения системы уравнений. Чтобы упростить вычисления, полагаем, что центры всех трёх сфер лежат в плоскости ${\displaystyle z=0}$, один из них совпадает с началом координат, второй — лежит на оси ${\displaystyle x}$. Наложенные ограничения не уменьшают общности: к такому виду может быть приведена любая система соответствующих уравнений путём перехода к другой системе координат. Чтобы найти решение в исходной системе координат, к решению, найденному в этой (приведенной) системе координат, применяются преобразования, обратные к тем, которые позволили исходное множество из трёх точек привести в соответствие с ограничениями.

Начнём с уравнений для трёх сфер:

${\displaystyle {\begin{cases}r_{1}^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\\r_{2}^{2}=(x-d)^{2}+y^{2}+z^{2}\\r_{3}^{2}=(x-i)^{2}+(y-j)^{2}+z^{2}\\\end{cases}}}$

Нужно найти точку ${\displaystyle (x,y,z)}$, удовлетворяющую всем трём уравнениям.

Вначале вычтем второе уравнение из первого и найдём ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle x={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+d^{2}}{2d}}}$.

Считаем, что первые две сферы пересекаются более, чем в одной точке, то есть ${\displaystyle d-r_{1}<r_{2}<d+r_{1}}$. В этом случае, подставляя выражение ${\displaystyle x}$ в уравнение первой сферы, получаем уравнение окружности, которое является искомым пересечением первых двух сфер:

${\displaystyle y^{2}+z^{2}=r_{1}^{2}-{\frac {(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+d^{2})^{2}}{4d^{2}}}}$.

Подставляем :${\displaystyle y^{2}+z^{2}=r_{1}^{2}-x^{2}}$ в уравнение третьей сферы и находим ${\displaystyle y}$:

${\displaystyle y={\frac {r_{1}^{2}-r_{3}^{2}-x^{2}+(x-i)^{2}+j^{2}}{2j}}={\frac {r_{1}^{2}-r_{3}^{2}+i^{2}+j^{2}}{2j}}-{\frac {i}{j}}x}$.

Зная координаты ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ легко можно найти координату ${\displaystyle z}$:

${\displaystyle z=\pm {\sqrt {r_{1}^{2}-x^{2}-y^{2}}}.}$

Теперь у нас есть все три координаты. Поскольку ${\displaystyle z}$ выражается как положительный или отрицательный квадратный корень, у данной задачи может быть ноль, одно или два решения.

Это можно представить, взяв окружность, полученную от пересечения первых двух сфер, и отыскивая её пересечение с третьей сферой. Если эта окружность проходит вне третьей сферы, координата ${\displaystyle z}$ равна корню из отрицательного числа, что означает отсутствие вещественного решения. Если окружность касается сферы ровно в одной точке, ${\displaystyle z}$ равна нулю. Если окружность пересекает сферу в двух точках, ${\displaystyle z}$ равна положительному или отрицательному корню из положительного числа.

Пользуясь тем, что каждая пара сфер пересекается по окружности, центр которой лежит на прямой, соединяющей центры сфер, и тем, что данная окружность лежит в плоскости, перпендикулярной данной прямой, можно решить задачу через линейную систему уравнений.

Пусть ${\displaystyle O_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),O_{2}(x_{2},y_{2},z_{2}),O_{3}(x_{3},y_{3},z_{3})}$ — центры исходных сфер, ${\displaystyle d_{ij}}$ — расстояния между центрами сфер, ${\displaystyle X(x,y,z)}$ — искомая точка.

Найдём ${\displaystyle O_{12}(x_{1}+\alpha (x_{2}-x_{1}),y_{1}+\alpha (y_{2}-y_{1}),z_{1}+\alpha (z_{2}-z_{1}))}$ — центр пересечения первых двух сфер.

${\displaystyle |O_{1}O_{12}|^{2}+|O_{12}X|^{2}=r_{1}^{2}}$,

${\displaystyle |O_{2}O_{12}|^{2}+|O_{12}X|^{2}=r_{2}^{2}}$

Вычтем второе уравнение из первого:

${\displaystyle |O_{1}O_{12}|^{2}-|O_{2}O_{12}|^{2}=r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}$. Преобразуем:

${\displaystyle \alpha ^{2}|O_{1}O_{2}|^{2}-(1-\alpha )^{2}|O_{1}O_{2}|^{2}=r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}+{\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{2d_{12}^{2}}}}$

Искомая точка лежит в плоскости, проходящей через ${\displaystyle O_{12}}$ и перпендикулярной ${\displaystyle O_{1}O_{2}}$. Поэтому для неё выполняется уравнение данной плоскости:

${\displaystyle (x-(1-\alpha )x_{1}-{\alpha }x_{2})(x_{2}-x_{1})+(y-(1-\alpha )y_{1}-{\alpha }y_{2})(y_{2}-y_{1})+(z-(1-\alpha )z_{1}-{\alpha }z_{2})(z_{2}-z_{1})=0}$, или иначе:

${\displaystyle (x_{2}-x_{1})x+(y_{2}-y_{1})y+(z_{2}-z_{1})z=((1-\alpha )x_{1}+{\alpha }x_{2})(x_{2}-x_{1})+((1-\alpha )y_{1}+{\alpha }y_{2})(y_{2}-y_{1})+((1-\alpha )z_{1}+{\alpha }z_{2})(z_{2}-z_{1})}$

После подстановки ${\displaystyle \alpha }$ получим:

${\displaystyle (x_{2}-x_{1})x+(y_{2}-y_{1})y+(z_{2}-z_{1})z={\frac {1}{2}}(x_{2}^{2}-x_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{1}^{2})+{\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{2d_{12}^{2}}}((x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2})}$

${\displaystyle (x_{2}-x_{1})x+(y_{2}-y_{1})y+(z_{2}-z_{1})z={\frac {1}{2}}(x_{2}^{2}-x_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{1}^{2})+{\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{2}}}$

Аналогично,

${\displaystyle (x_{3}-x_{1})x+(y_{3}-y_{1})y+(z_{3}-z_{1})z={\frac {1}{2}}(x_{3}^{2}-x_{1}^{2}+y_{3}^{2}-y_{1}^{2}+z_{3}^{2}-z_{1}^{2})+{\frac {r_{1}^{2}-r_{3}^{2}}{2}}}$

Пересечение двух полученных плоскостей даёт прямую, перпендикулярную плоскости треугольника. Пересечение данной прямой с плоскостью треугольника даёт точку ${\displaystyle O}$ — основание перпендикуляра из точки ${\displaystyle X}$ на плоскость треугольника. Дополнив систему уравнением плоскости треугольника, получим линейную систему уравнений для координат точки ${\displaystyle O}$.

Уравнение плоскости треугольника:

${\displaystyle ((y_{3}-y_{1})(z_{2}-z_{1})-(y_{2}-y_{1})(z_{3}-z_{1}))(x-x_{1})+((z_{3}-z_{1})(x_{2}-x_{1})-(z_{2}-z_{1})(x_{3}-x_{1}))(y-y_{1})+((x_{3}-x_{1})(y_{2}-y_{1})-(x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{1}))(z-z_{1})=0}$,

где:

${\displaystyle {\vec {n}}((y_{3}-y_{1})(z_{2}-z_{1})-(y_{2}-y_{1})(z_{3}-z_{1}),(z_{3}-z_{1})(x_{2}-x_{1})-(z_{2}-z_{1})(x_{3}-x_{1}),(x_{3}-x_{1})(y_{2}-y_{1})-(x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{1}))}$ — векторное произведение ${\displaystyle {\overline {O_{1}O_{2}}}}$ и ${\displaystyle {\overline {O_{1}O_{3}}}}$.

Коэффициенты при координатах искомой точки ${\displaystyle O}$ образуют матрицу 3x3. Если центры исходных сфер не лежат на одной прямой, то данная матрица невырождена и искомые координаты находятся после применения обратной матрицы к правой части системы. Обозначим найденные координаты точки ${\displaystyle O(x_{0},y_{0},z_{0})}$. Тогда:

${\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+k((y_{3}-y_{1})(z_{2}-z_{1})-(y_{2}-y_{1})(z_{3}-z_{1}))\\y=y_{0}+k((z_{3}-z_{1})(x_{2}-x_{1})-(z_{2}-z_{1})(x_{3}-x_{1}))\\z=z_{0}+k((x_{3}-x_{1})(y_{2}-y_{1})-(x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{1}))\\k=\pm {\frac {\sqrt {r_{1}^{2}-|OO_{1}|^{2}}}{2S_{O_{1}O_{2}O_{3}}}}\\\end{cases}}}$

Контроль измерения расстояний и самих построений сети трилатерации слишком слаб, а в некоторых конфигурациях отсутствует совсем, что недопустимо в точных геодезических построениях. К примеру, в 1-ом треугольнике с измеренными сторонами контроль измерений отсутствует полностью, так как не возникает ни одного условного уравнения то есть отсутствую избыточные измерения; в геодезическом четырёхугольнике и центральной системе с измеренными сторонами возникает всего лишь одно условное уравнение то есть присутствует недостаточное количество избыточных измерений[2].

При сопоставимой точности угловых и линейных измерений точность, передачи азимута в трилатерации существенно ниже, чем в триангуляции. Контроль осуществляется через Азимуты Лапласа, позволяющие независимо контролировать и уравнивать угловые измерения[2][3].

В технико-экономическом отношении метод трилатерации существенно уступает триангуляции. Метод является сложным как в полевых работах так в камеральных вычислениях[2].