Тригонометрическая подстановка

В математике тригонометрическая подстановка — это подстановка из тригонометрических функций для других выражений. В исчислении тригонометрическая подстановка — это метод вычисления интегралов. Более того, можно использовать тригонометрические тождества для упрощения некоторых интегралов, содержащих радикальное выражение[1][2]. Как и другие методы интегрирования путём подстановки, при вычислении определённого интеграла может быть проще полностью вывести первообразную перед применением границ интегрирования.

Случай I: Подынтегральные выражения, содержащие a2x2

Пусть , и используйте тождество .

Примеры Случая I

Геометрическая конструкция для Случая I

Пример 1

В интеграле

можно использовать

Тогда

Вышеупомянутый шаг требует, чтобы и . Мы можем выбрать в качестве главного корня и наложить ограничение с помощью функции обратного синуса.

Для определённого интеграла нужно выяснить, как меняются границы интегрирования. Например, если изменяется от до , тогда изменяется от до , поэтому изменяется от до . Тогда

При выборе границ требуется некоторая осторожность. Поскольку приведённая выше интеграция требует, чтобы , значение может изменяться только от до . Пренебрегая этим ограничением, можно было бы выбрать для перехода от к , что привело бы фактически к отрицательному значению.

В качестве альтернативы можно полностью вычислить неопределённые интегралы перед применением граничных условий. В этом случае первообразная даёт

как прежде.

Пример 2

Интеграл

можно оценить путём представления

где , так что и по диапазону арксинуса, так что и .

Тогда

Для определённого интеграла границы изменяются после выполнения замены и определяются с помощью уравнения со значениями в диапазоне . Или же можно применить граничные члены непосредственно к формуле первообразной.

Например, определённый интеграл

можно оценить, подставив , с оценками, определёнными с помощью , и .

Тогда

С другой стороны, прямое применение граничных членов к ранее полученной формуле для первообразных даёт

как прежде.

Случай II: Подынтегральные выражения, содержащие a2 + x2

Примеры Случая II

Геометрическая конструкция для Случая II

Пример 1

В интеграле

можно написать

так что интеграл становится

при условии .

Для определённого интеграла границы изменяются после выполнения замены и определяются с помощью уравнения со значениями в диапазоне . Или же можно применить граничные члены непосредственно к формуле первообразной.

Например, определённый интеграл

можно оценить, подставив , с оценками, определёнными с помощью , и .

Тогда

Между тем, прямое применение граничных членов к формуле для первообразных даёт

так же, как прежде.

Пример 2

Интеграл

можно оценить путём представления

где , так что и по диапазону арктангенса, так что и .

Тогда

Интеграл секанса в кубе можно вычислить с помощью интегрирования по частям. Как результат

Случай III: Подынтегральные выражения, содержащие x2a2

Пусть и используется тождество

Примеры Случая III

Геометрическая конструкция для Случая III

Интегралы типа

также можно вычислить частичными дробями, а не тригонометрическими подстановками. Однако интеграл

нельзя. В этом случае подходящей подстановкой будет:

где , так что и , предполагая , так что и .

Тогда

Можно вычислить интеграл функции секанс, умножив числитель и знаменатель на и интеграл секанса в кубе по частям[3]. Как результат

Если , что происходит, когда с заданным диапазоном арксеканса, то , что в данном случае означает .

Подстановки, исключающие тригонометрические функции

Подстановка может использоваться для удаления тригонометрических функций.

Например,

Последняя подстановка известна как подстановка Вейерштрасса, в которой используются формулы тангенса половинного угла.

Например,

Гиперболическая подстановка

Подстановки гиперболических функций также могут использоваться для упрощения интегралов[4].

В интеграле можно сделать подстановку ,

Затем, используя тождества и

можно получить

См. также

Примечания

  1. Джеймс Стюарт. Исчисление: ранние трансцендентальные теории. — 6-е издание. — Брукс/Коул, 2008. — ISBN 978-0-495-01166-8.
  2. Джордж Б. Томас, Морис Д. Вейр, Джоэл Хасс. Исчисление Томаса: ранние трансценденталы. — 12-е издание. Addison-Wesley, 2010. — ISBN 978-0-321-58876-0.
  3. Джеймс Стюарт. Раздел 7.2: Тригонометрические интегралы // Исчисление — Ранние трансцендентальные теории. Соединенные Штаты : Cengage Learning, 2012. — P. 475–6. — ISBN 978-0-538-49790-9.
  4. Христо Н. Бояджиев. Гиперболические подстановки интегралов. Дата обращения: 4 марта 2013.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.