Обобщённая тригонометрия
Обобщённая тригонометрия — совокупность различных обобщений определений и результатов классической тригонометрии.
Обычная тригонометрия изучает треугольники в евклидовой плоскости . Существует несколько способов определения обычных тригонометрических функций евклидовой геометрии в вещественных числах: через прямоугольный треугольник, единичную окружность, ряды, дифференциальные и функциональные уравнения. Разработка обобщений тригонометрических функций часто заключается в адаптации одного из вышеперечисленных методов к ситуации, в которой не используются вещественные числа евклидовой геометрии. В общем случае тригонометрию можно рассматривать как изучение троек точек в любой геометрии и любом пространстве. Треугольник — это многоугольник с наименьшим числом вершин, поэтому одним из направлений для обобщения является изучение многомерных аналогов углов и многоугольников: телесный угол и многогранники, такие как тетраэдры и -симплексы.
Тригонометрия
- В сферической тригонометрии изучаются треугольники на поверхности сферы. Тождества для сферических треугольников записываются в терминах обычных тригонометрических функций, но отличаются от тождеств для плоских треугольников.
- Гиперболическая тригонометрия:
- Исследование гиперболических треугольников в гиперболической геометрии с помощью гиперболических функций.
- Использование гиперболических функций в евклидовой геометрии — единичный круг параметризуется точкой , тогда как равносторонняя гипербола параметризуется точкой .
- Гиротригонометрия — форма тригонометрии, используемая в гировекторном подходе к гиперболической геометрии, имеющая приложения в специальной теории относительности и квантовых вычислениях.
- Рациональная тригонометрия — теория канадского математика Н. Дж. Уайлдбергера, основной идеей которой является замена понятия длины на «квадрант» (квадрат евклидова расстояния) и понятия угла на «разброс» (квадрат синуса соответствующего угла).
- Тригонометрия для геометрии городских кварталов[1].
- Тригонометрия пространства-времени[2].
- Нечёткая качественная тригонометрия[3].
- Операторная тригонометрия[4].
- Решёточная тригонометрия[5].
- Тригонометрия на симметричных пространствах[6][7][8].
Более высокие размерности
- Полярный синус.
- Тригонометрия тетраэдра[9]:
- Симплексы с «ортогональным углом» — теоремы Пифагора для -симплексов:
Тригонометрические функции
- Тригонометрические функции могут быть определены для дробно-дифференциальных уравнений[10].
- В исчислении шкалы времени дифференциальные и разностные уравнения объединены в динамические уравнения на шкале времени, которые также включают q-разностные уравнения. Тригонометрические функции могут быть определены в произвольной шкале времени (подмножество вещественных чисел).
- Определения синуса и косинуса через ряды позволяют определить эти функции на любой алгебре, где эти ряды сходятся, например над комплексными числами, p-адическими числами, матрицами и различными банаховыми алгебрами.
Другое
- Полярные/Тригонометрические формы гиперкомплексных чисел[11][12].
- Полигонометрия — тригонометрические тождества для нескольких различных углов[13].
Примечания
- Томпсон, Кевин & Дрей, Тевиан (2000), Углы городских кварталов и тригонометрия, Пи Мю Эпсилон Журнал Т. 11 (2): 87–96, <http://www.physics.orst.edu/~tevian/taxicab/taxicab.pdf>
- Франсиско Х. Эрранц, Рамон Ортега, Мариано Сантандер (2000), Тригонометрия пространства-времени: новый самодвойственный подход к тригонометрии, зависящей от кривизны/сигнатуры, Журнал физики А Т. 33 (24): 4525–4551, DOI 10.1088/0305-4470/33/24/309
- Хонхай Лю, Джордж М. Когхилл (2005), Нечёткая качественная тригонометрия, Международная конференция IEEE по системам, человеку и кибернетике 2005 года, vol. 2, с. 1291–1296, <http://userweb.port.ac.uk/~liuh/Papers/LiuCoghill05c_SMC.pdf>
- К. Э. Густафсон (1999), Вычислительная тригонометрия и связанные с ней работы русских математиков Канторовича, Крейна, Капорина, Вычислительные технологии Т. 4 (3): 73–83, <http://www.ict.nsc.ru/jct/getfile.php?id=159>
- Карпенков Олег (2008), Элементарные понятия решёточной тригонометрии, Математическая Скандинавика Т. 102 (2): 161–205, DOI 10.7146/math.scand.a-15058
- Аслаксен Хельмер, Хюинь Сюэ-Линг (1997), Законы тригонометрии в симметрических пространствах, Геометрия Тихоокеанского побережья (Сингапур, 1994 год), Берлин: де Грюйтер, с. 23–36
- Лойцингер Энрико (1992), О тригонометрии симметрических пространств, Математические комментарии Гельветики Т. 67 (2): 252–286, DOI 10.1007/BF02566499
- Масала Г. (1999), Правильные и изоклинические треугольники в многообразиях Грассмана G2(RN), Доклады математического семинара Туринского политехнического университета. Т. 57 (2): 91–104
- Г. Ричардсон (1902-03-01). “Тригонометрия тетраэдра” (PDF). Математический вестник. 2 (32): 149—158. DOI:10.2307/3603090. JSTOR 3603090.
- Вест Брюс Дж., Болонья Мауро, Григолини Паоло (2003), Физика фрактальных операторов, Институт нелинейных наук, Нью-Йорк: Издательство Шпрингер, с. 101, ISBN 0-387-95554-2, DOI 10.1007/978-0-387-21746-8
- Харкин Энтони А., Харкин Джозеф Б. (2004), Геометрия обобщённых комплексных чисел, Математический журнал Т. 77 (2): 118–129, DOI 10.1080/0025570X.2004.11953236
- Ямалеев Роберт М. (2005), Комплексные алгебры на многочленах порядка n и обобщения тригонометрии, модели осциллятора и гамильтоновой динамики, Успехи в прикладных алгебрах Клиффорда Т. 15 (1): 123–150, doi:10.1007/s00006-005-0007-y, <http://www.clifford-algebras.org/v15/v151/YAMAL151.pdf>
- Антиппа Адель Ф. (2003), Комбинаторная структура тригонометрии, Международный журнал математики и математических наук Т. 2003 (8): 475–500, doi:10.1155/S0161171203106230, <http://www.emis.de/journals/HOA/IJMMS/2003/8475.pdf>
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.