Дифференцирование тригонометрических функций

Круг с центром O и радиусом r
(r = OK = OA)

На диаграмме справа показан круг с центром O и радиусом r = 1. Пусть два радиуса OA и OK образуют дугу в θ радиан. Поскольку мы рассматриваем предел, когда θ стремится к нулю, мы можем предположить, что θ — это небольшое положительное число, скажем, 0 < θ < ½ π в первом квадранте.

На схеме пусть R₁ будет треугольником OAK, R₂ — круговым сектором OAK и R₃ — треугольником OAL. Тогда площадь треугольника OAK:

${\displaystyle \mathrm {Area} (R_{1})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |OB|\sin \theta ={\tfrac {1}{2}}\sin \theta \,.}$

Площадь кругового сектора OAK — это ${\displaystyle \mathrm {Area} (R_{2})={\tfrac {1}{2}}\theta }$, а площадь треугольника OAL определяется как

${\displaystyle \mathrm {Area} (R_{3})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |AC|={\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.}$

Поскольку каждый объект содержится в следующем, мы имеем:

${\displaystyle {\text{Area}}(R_{1})<{\text{Area}}(R_{2})<{\text{Area}}(R_{3})\iff {\tfrac {1}{2}}\sin \theta <{\tfrac {1}{2}}\theta <{\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.}$

Более того, поскольку sin θ > 0 в первом квадранте, мы можем разделить на ½ sin θ, получив:

${\displaystyle 1<{\frac {\theta }{\sin \theta }}<{\frac {1}{\cos \theta }}\implies 1>{\frac {\sin \theta }{\theta }}>\cos \theta \,.}$

На последнем этапе мы взяли обратно три положительных члена, изменив неравенство.

Мы пришли к выводу, что для 0 < θ < ½ π выражение sin(θ)/θ будет всегда меньше 1 и всегда больше cos(θ). Таким образом, чем ближе θ к 0, тем сильнее sin(θ)/θ становится "сжатым" между потолком на высоте 1 и полом на высоте cos θ, который стремится к 1; следовательно, sin(θ)/θ стремится к 1, когда θ стремится к 0 с положительной стороны:

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0^{+}}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1\,.}$

Для случая, когда θ — это небольшое отрицательное число -½ π <θ <0, мы используем тот факт, что синус — это нечётная функция:

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0^{-}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin(-\theta )}{-\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {-\sin \theta }{-\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ 1\,.}$

Последний раздел позволяет нам относительно легко рассчитать этот новый предел. Это делается простым трюком. В этом расчёте знак θ неважен.

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\right)\!\!\left({\frac {\cos \theta +1}{\cos \theta +1}}\right)\ =\ \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos ^{2}\!\theta -1}{\theta \,(\cos \theta +1)}}.}$

С использованием cos²θ – 1 = –sin²θ, факт, что предел произведения является произведением пределов, а предельный результат из предыдущего раздела, мы находим, что:

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {-\sin ^{2}\theta }{\theta (\cos \theta +1)}}\ =\ \left(-\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!\left(\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\right)\ =\ (-1)\left({\frac {0}{2}}\right)=0\,.}$

Используя предел для функции синуса и то, что функция тангенс нечётна и предел произведения является произведением пределов, мы находим:

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan \theta }{\theta }}\ =\ \left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!\left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {1}{\cos \theta }}\right)\ =\ (1)(1)\ =\ 1\,.}$

Мы рассчитываем производную функции синуса из определения предела:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin(\theta +\delta )-\sin \theta }{\delta }}.}$

Используя формулы сложения углов sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α, мы имеем:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin \theta \cos \delta +\sin \delta \cos \theta -\sin \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\sin \delta }{\delta }}\cos \theta +{\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\sin \theta \right).}$

Использование пределов для функций синуса и косинуса:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =(1)\cos \theta +(0)\sin \theta =\cos \theta \,.}$

Мы снова вычисляем производную функции косинуса из определения предела:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos(\theta +\delta )-\cos \theta }{\delta }}.}$

Используя формулу сложения углов cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β, мы имеем:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos \theta \cos \delta -\sin \theta \sin \delta -\cos \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\cos \theta \,-\,{\frac {\sin \delta }{\delta }}\sin \theta \right).}$

Использование пределов для функций синуса и косинуса:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =(0)\cos \theta -(1)\sin \theta =-\sin \theta \,.}$

Чтобы вычислить производную функции косинуса из цепного правила, сначала обратите внимание на три следующих факта:

${\displaystyle \cos \theta =\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)}$

${\displaystyle \sin \theta =\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)}$

${\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \theta =\cos \theta }$

Первое и второе — это тригонометрические тождества, а третье доказано выше. Используя эти три факта, мы можем написать следующее:

${\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta ={\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)}$

Мы можем дифференцировать это, используя цепное правило. Положив ${\displaystyle f(x)=\sin x,\ \ g(\theta )={\tfrac {\pi }{2}}-\theta }$, мы имеем:

${\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}f\!\left(g\!\left(\theta \right)\right)=f^{\prime }\!\left(g\!\left(\theta \right)\right)\cdot g^{\prime }\!\left(\theta \right)=\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)\cdot (0-1)=-\sin \theta }$.

Таким образом, мы доказали, что

${\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta =-\sin \theta }$.

Чтобы вычислить производную функции тангенса tan θ, мы используем первые принципы. По определению:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\tan(\theta +\delta )-\tan \theta }{\delta }}\right).}$

Используя известную формулу угла tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β), мы имеем:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left[{\frac {{\frac {\tan \theta +\tan \delta }{1-\tan \theta \tan \delta }}-\tan \theta }{\delta }}\right]=\lim _{\delta \to 0}\left[{\frac {\tan \theta +\tan \delta -\tan \theta +\tan ^{2}\theta \tan \delta }{\delta \left(1-\tan \theta \tan \delta \right)}}\right].}$

Используя тот факт, что предел произведения является произведением пределов:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\tan \delta }{\delta }}\times \lim _{\delta \to 0}\left({\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-\tan \theta \tan \delta }}\right).}$

Используя предел для функции тангенса и тот факт, что tan δ стремится к 0, поскольку δ стремится к 0:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1\times {\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-0}}=1+\tan ^{2}\theta .}$

Сразу видим, что:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta \,.}$

Также можно вычислить производную функции тангенса, используя правило частного:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\tan \theta ={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\left(\sin \theta \right)^{\prime }\cdot \cos \theta -\sin \theta \cdot \left(\cos \theta \right)^{\prime }}{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}}$

Числитель можно упростить до 1 с помощью пифагорового тождества, что даёт нам:

${\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta }$

Следовательно,

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta }$

Пусть

${\displaystyle y=\arcsin x\ ,}$

где

${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}.}$

Тогда

${\displaystyle \sin y=x\ .}$

Взяв производную по ${\displaystyle x}$ с обеих сторон и решив для ${\displaystyle dy/dx}$, имеем:

${\displaystyle {d \over dx}\sin y={d \over dx}x,}$

${\displaystyle \cos y\cdot {dy \over dx}=1\ .}$

Подставляя сверху ${\displaystyle \cos y={\sqrt {1-\sin ^{2}y}}}$, имеем:

${\displaystyle {\sqrt {1-\sin ^{2}y}}\cdot {dy \over dx}=1}$

Подставляя сверху ${\displaystyle x=\sin y}$, имеем:

${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {dy \over dx}=1}$

${\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

Пусть

${\displaystyle y=\arccos x\,\!}$

где

${\displaystyle 0\leq y\leq \pi }$

Тогда

${\displaystyle \cos y=x\,\!}$

Взяв производную по ${\displaystyle x}$ с обеих сторон и решив для ${\displaystyle dy/dx}$, имеем:

${\displaystyle {d \over dx}\cos y={d \over dx}x}$

${\displaystyle -\sin y\cdot {dy \over dx}=1}$

Подставляя сверху ${\displaystyle \sin y={\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\,\!}$, получаем:

${\displaystyle -{\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\cdot {dy \over dx}=1}$

Подставляя сверху ${\displaystyle x=\cos y\,\!}$, получаем:

${\displaystyle -{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {dy \over dx}=1}$

${\displaystyle {dy \over dx}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

В качестве альтернативы, как только производная от ${\displaystyle \arcsin x}$ установлена, производная от ${\displaystyle \arccos x}$ сразу следует путём дифференцирования тождества ${\displaystyle \arcsin x+\arccos x=\pi /2}$ так, что ${\displaystyle (\arccos x)'=-(\arcsin x)'}$.

Пусть

${\displaystyle y=\arctan x\,\!}$

где

${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}}$

Тогда

${\displaystyle \tan y=x\,\!}$

Взяв производную по ${\displaystyle x}$ с обеих сторон и решив для ${\displaystyle dy/dx}$, имеем:

${\displaystyle {d \over dx}\tan y={d \over dx}x}$

Левая сторона:

${\displaystyle {d \over dx}\tan y=\sec ^{2}y\cdot {dy \over dx}=(1+\tan ^{2}y){dy \over dx}}$, используя пифагорово тождество

Правая сторона:

${\displaystyle {d \over dx}x=1}$

Следовательно,

${\displaystyle (1+\tan ^{2}y){dy \over dx}=1}$

Подставляя сверху ${\displaystyle x=\tan y\,\!}$, получаем:

${\displaystyle (1+x^{2}){dy \over dx}=1}$

${\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{1+x^{2}}}}$

Пусть

${\displaystyle y=\operatorname {arccot} x}$

где ${\displaystyle 0<y<\pi }$ Тогда

${\displaystyle \cot y=x}$

Взяв производную по ${\displaystyle x}$ с обеих сторон и решив для ${\displaystyle dy/dx}$, имеем:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cot y={\frac {d}{dx}}x}$

Левая сторона:

${\displaystyle {d \over dx}\cot y=-\csc ^{2}y\cdot {dy \over dx}=-(1+\cot ^{2}y){dy \over dx}}$, используя пифагорово тождество

Правая сторона:

${\displaystyle {d \over dx}x=1}$

Следовательно,

${\displaystyle -(1+\cot ^{2}y){\frac {dy}{dx}}=1}$

Подставляя ${\displaystyle x=\cot y}$, получаем:

${\displaystyle -(1+x^{2}){\frac {dy}{dx}}=1}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{1+x^{2}}}}$

Пусть

${\displaystyle y=\operatorname {arcsec} x\ \ |x|\geq 1}$

Тогда

${\displaystyle x=\sec y\ \ y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2}},\pi \right]}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=\sec y\tan y=|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}$

(Абсолютное значение в выражении необходимо, поскольку произведение секанса и тангенса в интервале y всегда неотрицательно, а радикал ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}-1}}}$ всегда неотрицателен по определению главного квадратного корня, поэтому оставшийся множитель также должен быть неотрицательным, что достигается за счёт использования абсолютного значения x.)

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$

В качестве альтернативы, производная арксеканса может быть получена из производной арккосинуса с использованием цепного правила.

Пусть

${\displaystyle y=\operatorname {arcsec} x=\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)}$

где

${\displaystyle |x|\geq 1}$ and ${\displaystyle y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2}},\pi \right]}$

Тогда, применяя цепное правило к ${\displaystyle \arccos \left({\frac {1}{x}}\right)}$, имеем:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}})^{2}}}}\cdot \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}={\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}}}}}}={\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$

Пусть

${\displaystyle y=\operatorname {arccsc} x\ \ |x|\geq 1}$

Тогда

${\displaystyle x=\csc y\ \ \ y\in \left[-{\frac {\pi }{2}},0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right]}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=-\csc y\cot y=-|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}$

(Абсолютное значение в выражении необходимо, поскольку произведение косеканса и котангенса в интервале y всегда неотрицательно, а радикал ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}-1}}}$ всегда неотрицателен по определению главного квадратного корня, поэтому оставшийся множитель также должен быть неотрицательным, что достигается за счёт использования абсолютного значения x.)

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$

В качестве альтернативы, производная арккосеканса может быть получена из производной арксинуса с использованием цепного правила.

Пусть

${\displaystyle y=\operatorname {arccsc} x=\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)}$

где

${\displaystyle |x|\geq 1}$ and ${\displaystyle y\in \left[-{\frac {\pi }{2}},0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right]}$

Тогда, применяя цепное правило к ${\displaystyle \arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)}$, имеем:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}})^{2}}}}\cdot \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=-{\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}=-{\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}}}}}}=-{\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$