Квадратный корень

При рациональных ${\displaystyle a}$ уравнение ${\displaystyle x^{2}=a}$ не всегда разрешимо в рациональных числах. Более того, такое уравнение, даже при положительном ${\displaystyle a}$, разрешимо в рациональных числах тогда и только тогда, когда и числитель и знаменатель числа ${\displaystyle a}$, представленного в виде несократимой дроби, являются квадратными числами.

Непрерывная дробь для корня из рационального числа всегда является периодической (возможно, с предпериодом), что позволяет, с одной стороны, легко вычислять хорошие рациональные приближения к рациональным числам с помощью линейных рекурсий, а с другой стороны ограничивает точность приближения: ${\displaystyle |{\sqrt {r}}-p/q|>{\frac {1}{Cq^{2}}}}$, где ${\displaystyle C}$ зависит от ${\displaystyle r}$[15][16]. Верно и то, что любая периодическая непрерывная дробь является квадратичной иррациональностью.

Примеры разложения корней из натуральных чисел от 2 до 10 в непрерывные дроби:

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	= [1; 2, 2, ...]
${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	= [1; 1, 2, 1, 2, ...]
${\displaystyle {\sqrt {4}}}$	= [2]
${\displaystyle {\sqrt {5}}}$	= [2; 4, 4, ...]
${\displaystyle {\sqrt {6}}}$	= [2; 2, 4, 2, 4, ...]
${\displaystyle {\sqrt {7}}}$	= [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, ...]
${\displaystyle {\sqrt {8}}}$	= [2; 1, 4, 1, 4, ...]
${\displaystyle {\sqrt {9}}}$	= [3]
${\displaystyle {\sqrt {10}}}$	= [3; 6, 6, ...]

Для любого положительного числа ${\displaystyle a}$ существуют ровно два вещественных корня, которые равны по модулю и противоположны по знаку[17].

Неотрицательный квадратный корень из неотрицательного числа ${\displaystyle a}$ называется арифметическим квадратным корнем и обозначается с использованием знака радикала[3]: ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$.

Основные свойства вещественного квадратного корня (все значения под знаком корня считаются положительными):

• ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}}}=|a|:}$
• ${\displaystyle {\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}}$ (корень из произведения равен произведению корней из сомножителей);
• ${\displaystyle {\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}\quad (b\neq 0);}$

К комплексным числам, учитывая двузначность корня, все эти свойства неприменимы (см. ниже пример ошибки).

Квадратных корней из любого ненулевого комплексного числа всегда ровно два, они противоположны по знаку. Для корней в комплексной области понятие арифметического корня не вводится, знак радикала обычно либо не используется, либо обозначает не функцию корня, а множество всех корней. В последнем случае, во избежание ошибок, знак радикала не должен использоваться в арифметических операциях. Распространённая ошибка:

${\displaystyle -1=({\sqrt {-1}})^{2}={\sqrt {(-1)^{2}}}={\sqrt {1}}=1}$ (что, конечно, неверно)

Ошибка возникла из-за того, что комплексный квадратный корень является двузначной функцией, и его нельзя использовать в арифметических действиях.

Для извлечения квадратного корня из комплексного числа удобно использовать экспоненциальную форму записи комплексного числа: если

${\displaystyle a=|a|e^{i\phi }}$,

то (см. Формула Муавра)

${\displaystyle {\sqrt {a}}={\sqrt {|a|}}\cdot e^{i(\phi +2\pi k)/2}}$,

где корень из модуля понимается в смысле арифметического значения, а k может принимать значения k = 0 и k = 1, таким образом, в итоге получаются два различных результата.

Существует и чисто алгебраическое представление для корня из ${\displaystyle a+bi}$; оба значения корня имеют вид ${\displaystyle \pm (c+di)}$ где:

${\displaystyle c={\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}}$

${\displaystyle d=\operatorname {sgn}(b){\sqrt {\frac {-a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}}$

Здесь sgn — функция «знак». Формула легко проверяется возведением ${\displaystyle c+di}$ в квадрат[18].

Пример: для квадратного корня из ${\displaystyle 3+4i}$ формулы дают два значения: ${\displaystyle 2+i;\;-2-i.}$

График функции ${\displaystyle y={\sqrt {x}}}$

Квадратный корень является элементарной функцией и частным случаем степенной функции ${\displaystyle x^{\alpha }}$ с ${\displaystyle \alpha =1/2}$. Арифметический квадратный корень является гладким при ${\displaystyle x>0,}$ в нуле же он непрерывен справа, но не дифференцируем[19].

Производная функции квадратного корня вычисляется по формуле:

${\displaystyle {\frac {d({\sqrt {x}})}{dx}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}$

Как функция комплексного переменного корень — двузначная функция, два листа которой соединяются в нуле (см. подробнее Комплексный анализ).

${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}=1+\textstyle {\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\dots ,}$ при ${\displaystyle |x|\leqslant 1}$.

Многие алгоритмы вычисления квадратных корней из положительного действительного числа S требуют некоторого начального значения. Если начальное значение слишком далеко от настоящего значения корня, вычисления замедляются. Поэтому полезно иметь грубую оценку, которая может быть очень неточна, но легко вычисляется. Если S ≥ 1, пусть D будет числом цифр S слева от десятичной запятой. Если S < 1, пусть D будет числом нулей, идущих подряд, справа от десятичной запятой, взятое со знаком минус. Тогда грубая оценка выглядит так:

Если D нечётно, D = 2n + 1, тогда используем ${\displaystyle {\sqrt {S}}\approx 2\cdot 10^{n}.}$

Если D чётно, D = 2n + 2, тогда используем ${\displaystyle {\sqrt {S}}\approx 6\cdot 10^{n}.}$

Два и шесть используются потому, что ${\displaystyle {\sqrt {\sqrt {1\cdot 10}}}={\sqrt[{4}]{10}}\approx 2}$ и ${\displaystyle {\sqrt {\sqrt {10\cdot 100}}}={\sqrt[{4}]{1000}}\approx 6\,.}$

При работе в двоичной системе (как внутри компьютеров), следует использовать другую оценку ${\displaystyle 2^{\left\lfloor D/2\right\rfloor }}$ (здесь D это число двоичных цифр).

Построение для геометрического извлечения квадратного корня

Так как треугольники ${\displaystyle \Delta ABH}$ и ${\displaystyle \Delta BCH}$ подобны по признаку подобия треугольников по 2 равным углам, то ${\displaystyle {\frac {|AH|}{|BH|}}={\frac {|BH|}{|HC|}},~}$ откуда ${\displaystyle |BH|^{2}=|AH|\cdot |HC|}$ и ${\displaystyle |BH|={\sqrt {|AH|\cdot |HC|}}.}$

В частности, если ${\displaystyle |AH|=1}$, а ${\displaystyle |HC|=x}$, то ${\displaystyle |BH|={\sqrt {x}}}$[21].

Данный способ был известен уже в Древнем Вавилоне. Он позволяет найти приближённое значение квадратного корня с любой точностью,

Последовательные приближения рассчитываются по формуле: ${\displaystyle {\begin{cases}x_{0}=a\\x_{n+1}={\frac {1}{2}}\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)\end{cases}}}$ тогда ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}={\sqrt {a}}}$

Этот метод сходится очень быстро. Например, если для ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ взять начальное приближение ${\displaystyle x_{0}=2,}$ то получим:

${\displaystyle x_{1}={\frac {9}{4}}=2{,}25;\ x_{2}={\frac {161}{72}}=2{,}23611\dots$ ;\ x_{3}={\frac {51841}{23184}}=2{,}2360679779\dots }

В заключительном значении верны все приведённые цифры, кроме последней.

Этот способ позволяет найти приближённое значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью. К недостаткам способа можно отнести увеличивающуюся сложность вычисления с увеличением количества найденных цифр.

Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком. Выписывается число, корень которого ищем. Справа от него будем постепенно получать цифры искомого корня. Пусть извлекается корень из числа N с конечным числом знаков после запятой. Для начала мысленно или метками разобьём число N на группы по две цифры слева и справа от десятичной точки. При необходимости группы дополняются нулями — целая часть дополняется слева, дробная справа. Так, 31234,567 можно представить как 03 12 34, 56 70. В отличие от деления, снос производится такими группами по 2 цифры.

1. Записать число N (в примере — 69696) на листке.
2. Найти ${\displaystyle a}$, квадрат которого меньше или равен группе старших разрядов числа N (старшая группа — самая левая, не равная нулю), а квадрат ${\displaystyle a+1}$ больше группы старших разрядов числа. Записать найденное ${\displaystyle a}$ справа от N (это очередная цифра искомого корня). (На первом шаге примера ${\displaystyle a^{2}=2^{2}=2\cdot 2=4<6}$, а ${\displaystyle (a+1)^{2}=3^{2}=3\cdot 3=9>6}$).
3. Записать квадрат ${\displaystyle a}$ под старшей группой разрядов. Провести вычитание из старшей группы разрядов N выписанного квадрата числа ${\displaystyle a}$ и записать результат вычитания под ними.
4. Слева от этого результата вычитания провести вертикальную черту и слева от черты записать число, равное уже найденным цифрам результата (мы их выписываем справа от N), умноженное на 20. Назовём это число ${\displaystyle b}$. (На первом шаге примера это число просто есть ${\displaystyle b=2\cdot 20=40}$, на втором ${\displaystyle b=26\cdot 20=520}$).
5. Произвести снос следующей группы цифр, то есть дописать следующие две цифры числа N справа от результата вычитания. Назовем ${\displaystyle c}$ число, полученное соединением результата вычитания и очередной группы из двух цифр. (На первом шаге примера это число ${\displaystyle c=296}$, на втором ${\displaystyle c=2096}$). Если сносится первая группа после десятичной точки числа N, то нужно поставить точку справа от уже найденных цифр искомого корня.
6. Теперь нужно найти такое ${\displaystyle a}$, что ${\displaystyle (b+a)\cdot a}$ меньше или равно ${\displaystyle c}$, но ${\displaystyle (b+(a+1))\cdot (a+1)}$ больше, чем ${\displaystyle c}$. Записать найденное ${\displaystyle a}$ справа от N как очередную цифру искомого корня. Вполне возможно, что ${\displaystyle a}$ окажется равным нулю. Это ничего не меняет — записываем 0 справа от уже найденных цифр корня. (На первом шаге примера это число 6, так как ${\displaystyle (40+6)\cdot 6=46\cdot 6=276<296}$, но ${\displaystyle (40+7)\cdot 7=47\cdot 7=329>296}$) Если число найденных цифр уже удовлетворяет искомой точности, прекращаем процесс вычисления.
7. Записать число ${\displaystyle (b+a)\cdot a}$ под ${\displaystyle c}$. Провести вычитание столбиком числа ${\displaystyle (b+a)\cdot a}$ из ${\displaystyle c}$ и записать результат вычитания под ними. Перейти к шагу 4.

Наглядное описание алгоритма: