Итерационная формула Герона

Итерацио́нная фо́рмула Геро́на имеет вид

x_{n+1}={\frac {1}{2}}~\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)\

,

где a — фиксированное положительное число, а $x_{1}$ — любое положительное число.

Итерационная формула задаёт убывающую (начиная со 2-го элемента) последовательность, которая при любом выборе $x_{1}$ быстро сходится к величине ${\sqrt {a}}$ (квадратный корень из числа), то есть

\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}={\sqrt {a}}

Эту формулу можно получить, применяя метод Ньютона к решению уравнения $a-x^{2}=0$ .

Пример

Попробуем вычислить квадратный корень для 25, используя округления при вычислениях. Пусть нашим первым предположением для значения ${\sqrt {25}}$ будет значение 3.

n	$x_{n}$	$x_{n+1}={\frac {1}{2}}~\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)\$	Приблизительное значение $x_{n+1}$
1	3	${\frac {1}{2}}~\left(3+{\frac {25}{3}}\right)\$	${\frac {1}{2}}~(3+8.33)={\frac {1}{2}}\cdot 11.33\approx 5.67$
2	5.67	${\frac {1}{2}}~\left(5.67+{\frac {25}{5.67}}\right)\$	${\frac {1}{2}}~(5.67+4.41)={\frac {1}{2}}\cdot 10.08=5.04$
3	5.04	${\frac {1}{2}}~\left(5.04+{\frac {25}{5.04}}\right)\$	${\frac {1}{2}}~(5.04+4.96)={\frac {1}{2}}\cdot 10=5$
4	5	${\frac {1}{2}}~\left(5+{\frac {25}{5}}\right)\$	${\frac {1}{2}}~(5+5)={\frac {1}{2}}\cdot 10=5$

Геометрическая интерпретация

Эта формула имеет простую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим прямоугольник с площадью а и стороной x₁. Будем производить его итерационное квадрирование. А именно — одну сторону нового прямоугольника сделаем равной среднему арифметическому обеих сторон предыдущего шага. А вторую сторону возьмём такой, чтобы площадь нового прямоугольника снова была равна а. На следующих шагах будем повторять этот же процесс.

Литература

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.