Вложенные радикалы

В алгебре вложенным радикалом называется радикал, содержащийся в другом радикале. Например

{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}\ }},

или более сложный пример

{\sqrt[{3}]{2+{\sqrt {3}}+{\sqrt[{3}]{4}}\ }}.

Значения всех вложенных радикалов называются выразимыми в радикалах.

Упрощение вложенных радикалов

Некоторые вложенные радикалы могут быть упрощены. Например:

{\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}}\,,

{\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{2}}-1}}={\frac {1-{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt[{3}]{4}}}{\sqrt[{3}]{9}}}\,.

В общем случае упрощение является сложной проблемой, если оно вообще возможно. Следующая формула позволяет произвести упрощение в случае, когда $R={\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}$ рационально:

{\sqrt {a\pm b{\sqrt {c}}}}={\sqrt {\frac {a+R}{2}}}\pm {\sqrt {\frac {a-R}{2}}}.

Например,

{\sqrt {a\pm {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}}={\sqrt {\frac {a+b}{2}}}\pm {\sqrt {\frac {a-b}{2}}}\quad (|a|\geq |b|).

В частности, для комплексных чисел ( $c=-1$ ):

{\sqrt {a+bi}}=\pm \left({\sqrt {\frac {\left|z\right|+a}{2}}}+i\operatorname {sgn}(b){\sqrt {\frac {\left|z\right|-a}{2}}}\right),

где

\left|z\right|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.

Бесконечно вложенные радикалы

Общие положения

В некоторых случаях бесконечно вложенные радикалы могут быть тождественны некоторому рациональному числу, например выражение

x={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}}}

равно 2. Для того чтобы это увидеть, возведем обе части выражения в квадрат и отнимем 2:

x^{2}-2={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}=x

;

x^{2}-x-2=0

;

x_{1}=2,x_{2}=-1

.

Очевидно, что $-1$ не может являться значением исходного радикала. В общем случае:

{\sqrt {a+{\sqrt {a+{\sqrt {a+{\sqrt {a+\cdots }}}}}}}}={\frac {1+{\sqrt {1+4a}}}{2}}

Тривиальные случаи

Для квадратного корня:
${\sqrt {a+b{\sqrt {a+b{\sqrt {a+b{\sqrt {a+b{\sqrt {\cdots }}}}}}}}}}={\frac {b+{\sqrt {b^{2}+4a}}}{2}}$ ;
Для корня степени $n$
${\sqrt[{n}]{a+b{\sqrt[{n}]{a+b{\sqrt[{n}]{a+b{\sqrt[{n}]{a+b{\sqrt[{n}]{\cdots }}}}}}}}}}=x,$

где $x$ является решением уравнения $x^{n}-bx-a=0$ .

Нетривиальные случаи

Формула Рамануджана:
$x+n+a={\sqrt {ax+(n+a)^{2}+x{\sqrt {a(x+n)+(n+a)^{2}+(x+n){\sqrt {a(x+2n)+(n+a)^{2}+(x+2n){\sqrt {\cdots }}}}}}}}$

Частные случаи

Золотое сечение:
$\phi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {\cdots }}}}}}}}$
Пластическое число:
$\rho ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{\cdots }}}}}}}}$
Число Пи:
${\frac {2}{\pi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots$

Ссылки

Weisstein, Eric W. Вложенные радикалы (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Weisstein, Eric W. Квадратный корень (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Decreasing the Nesting Depth of Expressions Involving Square Roots (англ.)
Simplifying Square Roots of Square Roots (англ.)

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.