Бомбелли, Рафаэль

Главный труд Бомбелли — «Алгебра» (L’Algebra), написана около 1560 года, издана в 1572 году в Венеции и переиздана в 1579 году в Болонье.

«Алгебра» примечательна во многих отношениях. Бомбелли, первый в Европе, свободно оперирует с отрицательными числами, приводит правила работы с ними, включая правило знаков для умножения. Он также первым, опередив своё время, оценил пользу комплексных чисел, в частности для решения уравнений третьей степени по формулам Кардано.

Пример[2]. Уравнение ${\displaystyle x^{3}=15x+4}$ имеет вещественный корень x = 4, однако по формулам Кардано получаем: ${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{2+11i}}+{\sqrt[{3}]{2-11i}}}$.

Бомбелли обнаружил, что ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2\pm 11i}}=2\pm i}$, откуда сразу получается нужный вещественный корень. Он подчеркнул, что в подобных (неприводимых) случаях комплексные слагаемые в формуле Кардано всегда сопряжены, поэтому при их сложении получается вещественный корень. Данное уравнение имеет ещё два вещественных корня (${\displaystyle -2\pm {\sqrt {3}}}$), однако отрицательные значения в тот период ещё не рассматривались как допустимые. Разъяснения Бомбелли положили начало успешному применению в математике комплексных чисел.

Исчерпывающее исследование неприводимого случая требовало умения извлекать корни из комплексных чисел, а этого умения у Бомбелли ещё не было. Полностью проблему решили Виет и де Муавр.

Появление квадратных скобок у Бомбелли; записано выражение: ${\displaystyle {\sqrt {7+{\sqrt {14}}}}}$

Бомбелли также придумал первые скобки; они имели вид прямой и зеркально-отражённой буквы L. Привычные нам круглые скобки появились в том же XVI веке, однако в общее употребление их ввели только Лейбниц и Эйлер. Бомбелли первый стал использовать числовое (а не словесное, как ранее) обозначение для показателя степени, помечаемое специальной дужкой снизу. Современное обозначение показателя ввёл в широкое обращение Декарт[3].

Из других научных достижений Бомбелли следует отметить фактическое применение цепных дробей для вычисления квадратных корней из натуральных чисел. Понятия цепной дроби у Бомбелли ещё не было, и ниже излагается алгоритм в более поздней версии, данной Катальди (1613 год)[4].

Чтобы найти значение ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$, сначала определим его целое приближение: ${\displaystyle {\sqrt {n}}=a\pm r}$, где ${\displaystyle 0<r<1\ }$. Тогда ${\displaystyle n=(a\pm r)^{2}=a^{2}\pm 2ar+r^{2}\ }$. Отсюда несложно вывести, что ${\displaystyle r={\frac {|n-a^{2}|}{2a\pm r}}}$. Повторно подставляя полученное выражение в формулу ${\displaystyle {\sqrt {n}}=a\pm r}$, мы получаем разложение в цепную дробь:

${\displaystyle a\pm {\frac {|n-a^{2}|}{2a\pm {\frac {|n-a^{2}|}{2a\pm {\frac {|n-a^{2}|}{2a\pm \cdots }}}}}}}$

Для оценки точности полученных приближений можно использовать одно из свойств цепных дробей: последовательные значения подходящих дробей колеблются около точного значения, чередуя приближения с избытком и недостатком.

Пример. Для ${\displaystyle {\sqrt {13}},a=3}$ мы получаем последовательные приближения:

${\displaystyle 3{\frac {2}{3}},\ 3{\frac {3}{5}},\ 3{\frac {20}{33}},\ 3{\frac {66}{109}},\ 3{\frac {109}{180}},\ 3{\frac {720}{1189}},\ \cdots }$

Последняя дробь равна ${\displaystyle 3.605550883}$…, в то время как ${\displaystyle {\sqrt {13}}\ \approx 3.605551275}$.

Бомбелли занимался древними задачами удвоения куба и трисекции угла и сумел доказать, что их можно свести к решению кубического уравнения[5].