Трисекция угла

Рис. 1. Трисекция угла с помощью невсиса

Рис. 2. Трисекция угла (доказательство)

Следующее построение с помощью невсиса предложено Архимедом.

Предположим, что имеется угол ${\displaystyle \alpha =POM}$ (рис. 1). Необходимо построить угол ${\displaystyle \beta }$, величина которого втрое меньше данного: ${\displaystyle \alpha =3\beta }$.

Построим окружность произвольного радиуса ${\displaystyle a}$ с центром в точке ${\displaystyle O}$. Пусть стороны угла пересекаются с окружностью в точках ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle M}$. Продолжим сторону ${\displaystyle OM}$ исходного угла. Возьмём линейку невсиса, отложив на ней диастему ${\displaystyle a}$, и используя прямую ${\displaystyle OM}$ в качестве направляющей, точку ${\displaystyle P}$ в качестве полюса, а полуокружность в качестве целевой линии, строим отрезок ${\displaystyle AB}$. Получим угол ${\displaystyle PAM}$, равный одной трети исходного угла ${\displaystyle \alpha }$.

Доказательство

Рассмотрим треугольник ${\displaystyle ABO}$ (рис. 2). Так как ${\displaystyle AB=BO=a}$, то треугольник равнобедренный, и углы при его основании равны: ${\displaystyle \angle BAO=\angle BOA=\beta }$ . Угол ${\displaystyle \angle PBO}$ как внешний угол треугольника ${\displaystyle ABO}$ равен ${\displaystyle 2\beta }$.

Треугольник ${\displaystyle BPO}$ также равнобедренный, углы при его основании равны ${\displaystyle 2\beta }$, а угол при вершине ${\displaystyle \gamma =180^{\circ }-4\beta }$. С другой стороны, ${\displaystyle \gamma =180^{\circ }-\beta -\alpha }$. Следовательно, ${\displaystyle 180^{\circ }-4\beta =180^{\circ }-\beta -\alpha }$, а значит, ${\displaystyle \alpha =3\beta }$.