Задача Архимеда о быках

«Задачу о быках» обнаружил Готхольд Эфраим Лессинг в греческой рукописи, состоящей из стихотворения в 44 строки, в библиотеке герцога Августа в Вольфенбюттеле в Германии. Текст задачи был опубликован в издании «Beiträge zur Geschichte und Litteratur» в Брауншвейге в 1773 году. Авторство Архимеда у антиковедов не вызывает сомнений, так как и по стилю, и по характеру трактат соответствует математическим эпиграммам той эпохи. Задача о быках авторства Архимеда упоминается в одном из античных схолиев к диалогу Платона «Хармид, или О благоразумии»[1][2].

Архимед предлагает читателю найти количество быков бога Солнца Гелиоса при следующих условиях:

• у Гелиоса имелось четыре стада, каждое из которых отличалось по цвету[к 1]
• количество белых быков было равным ${\displaystyle =\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}\right)}$ тёмных + рыжим быкам[к 2]
• тёмных быков ${\displaystyle =\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}\right)}$ пёстрых + рыжим быкам[к 3]
• пёстрых быков ${\displaystyle =\left({\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}\right)}$ белых + рыжим быкам[к 4]
• белых коров ${\displaystyle =\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)}$ тёмного стада[к 5]
• тёмных коров ${\displaystyle =\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}\right)}$ пёстрого стада[к 6]
• пёстрых коров ${\displaystyle =\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}\right)}$ рыжего стада[к 7]
• рыжих коров ${\displaystyle =\left({\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}\right)}$ белого стада[к 8]

После этого Архимед предлагает найти количество быков и коров разного цвета, указывая, что тот у кого это получится не является невеждой[11].

Вторая часть задачи включает дополнительные условия:

• количество белых и тёмных быков — квадратное число
• количество пёстрых и рыжих быков — треугольное число

Тот, кто сможет при этих условиях определить число голов скота в стадах Гелиоса, по мнению Архимеда, является мудрецом[12].

Решение первой части задачи сводится к системе линейных алгебраических уравнений. Если обозначить количество быков соответствующего цвета символами Б, Т, П и Р, а коров — б, т, п и р, то первые уравнения можно отобразить следующим образом[1]:

• Б${\displaystyle =\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}\right)}$ Т + Р → 6Б = 5Т + 6Р
• Т${\displaystyle =\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}\right)}$ П + Р → 20Т = 9П + 20Р
• П${\displaystyle =\left({\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}\right)}$ Б + Р → 42П = 13Б + 42Р

Последовательно решая все семь уравнений будут получены следующие значения:

• Б — 10 366 482
• Т — 7 460 514
• П — 7 358 060
• Р — 4 149 387
• б — 7 206 360
• т — 4 893 246
• п — 3 515 820
• р — 5 439 213

Общее количество голов скота у Гелиоса таким образом составляло 50 389 082[13].

Вторая часть задачи, то есть поиск решения, которое удовлетворяло бы условиям первой и второй части, сводится к уравнению Пелля. Её решение было опубликовано в 1880 году[14]. Общее количество быков приближённо равно ${\displaystyle 7.76\times 10^{206544}}$. Чтобы записать все 206 545 цифр необходимо 660 страниц с 2500 знаков на каждой. Впервые точное числовое значение решения задачи о быках было распечатано в 1965 году с использованием компьютерной техники[15].

Комментарии

Источники

• Bell, A. H. (1895), The «Cattle Problem». By Archimedies 251 B. C., The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) . — Т. 2 (5): 140–141, DOI 10.2307/2968125