Уравнение Пелля

• Пары ${\displaystyle (\pm 1,\,0)}$ всегда являются решениями, называемыми тривиальными.
• Ввиду симметрии достаточно найти все решения с положительными ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$.
• Если ${\displaystyle n}$ является полным квадратом, то у уравнения нет нетривиальных решений, поскольку в левой части стоит разность двух полных квадратов, что объясняет ограничение на параметр ${\displaystyle n}$.

Пара ${\displaystyle (x,y)}$ является решением уравнения Пелля тогда и только тогда, когда норма числа ${\displaystyle x+y{\sqrt {n}}}$ в расширении ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {n}})}$ поля ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ равна единице:

${\displaystyle N(x+y{\sqrt {n}})=(x+y{\sqrt {n}})(x-y{\sqrt {n}})=x^{2}-ny^{2}.}$

В частности, решению соответствует единица кольца ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]}$. Поэтому, а также в силу мультипликативности нормы, решения можно как «умножать», так и «делить»: решениям ${\displaystyle (x_{1},\;y_{1})}$ и ${\displaystyle (x_{2},\;y_{2})}$ можно поставить в соответствие решения

${\displaystyle (x_{1}x_{2}+ny_{1}y_{2},\;x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2}),\quad (x_{1}x_{2}-ny_{1}y_{2},\;-x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2}).}$

Кроме того, существование нетривиальных решений таким образом может быть выведено из теоремы Дирихле о единицах (утверждающей в данном случае, что ранг группы единиц кольца целых расширения ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {n}})}$ равен 1).

Несложно видеть, что при больших ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$, являющихся решениями уравнения Пелля, отношение ${\displaystyle x/y}$ должно быть близким к ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$. Оказывается, что верно и более сильное утверждение: такая дробь должна быть подходящей дробью для ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$, и имеет место следующий критерий:

Первые упоминания о таком уравнении были найдены в работах математиков Древней Греции и Древней Индии. Общий способ решения уравнения — так называемый «циклический метод» — присутствует в работах индийского математика VII века Брахмагупты, впрочем, без доказательства, что этот метод всегда приводит к решению. В общем виде задачу сформулировал французский математик Пьер Ферма, поэтому во Франции данное уравнение называется «уравнением Ферма». Современное же название уравнения возникло благодаря Леонарду Эйлеру, ошибочно приписавшему их авторство Джону Пеллю.

• Теорема Матиясевича
• Десятая проблема Гильберта
• Метод «чакравала» — метод нахождения наименьшего нетривиального решения.
• Цепная дробь

• Бугаенко В. О. Уравнения Пелля. — М.: МЦНМО, 2001. — ISBN 5-900916-96-0.
• Бухштаб А. А. Теория чисел. — М.: Учпедгиз, 1960.
• Ван дер Варден. Уравнение Пелля в математике греков и индийцев // УМН. — 1976. — Т. 31, вып. 5(191). — С. 57—70.
• Сендеров В., Спивак А. Уравнения Пелля (часть I) // Квант. — 2002. — № 3. — С. 2—9.
• Спивак А. Уравнения Пелля (часть II) // Квант. — 2002. — № 4. — С. 5—11.
• Спивак А. Уравнения Пелля (часть III) // Квант. — 2002. — № 6. — С. 10—15.

• Онлайн решение уравнений Пелля
• Dario Alpern, Generic Two integer variable equation solver