Теорема Дирихле о единицах

Пусть ${\displaystyle K}$ — числовое поле (т. е., конечное расширение ${\displaystyle \mathbb {Q} }$), а ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ — его кольцо целых чисел. Тогда ранг группы обратимых элементов ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ равен ${\displaystyle d=r+s-1}$, где ${\displaystyle r}$ — число различных вложений ${\displaystyle K}$ в поле вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$, а ${\displaystyle s}$ — число пар комплексно-сопряжённых различных вложений в ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , не являющихся чисто вещественными.

По условию есть ${\displaystyle r}$ вещественных изоморфизмов ${\displaystyle \sigma _{1},...,\sigma _{r}}$ и ${\displaystyle 2s}$ комплексных ${\displaystyle \sigma _{r+1},{\bar {\sigma }}_{r+1},...,\sigma _{r+s},{\bar {\sigma }}_{r+s}}$. Для доказательства элементы поля изображаются в двух пространствах: линейном ${\displaystyle L}$ и логарифмическом ${\displaystyle A}$.

${\displaystyle L}$ - пространство строк вида ${\displaystyle (x_{1},...,x_{r},x_{r+1},...,x_{r+s})}$, где ${\displaystyle x_{1},...,x_{r}\in \mathbb {R} ,x_{r+1},...,x_{r+s}\in \mathbb {C} }$ с покомпонентным сложением и умножением. Определим ${\displaystyle x:K\to L}$ как ${\displaystyle x(\alpha )=(\sigma _{1}(\alpha ),...,\sigma _{r}(\alpha ),\sigma _{r+1}(\alpha ),...,\sigma _{r+s}(\alpha ))}$, вложение инъективно. В ${\displaystyle L}$ образ поля ${\displaystyle K}$ представляет собой некоторую дискретную решётку - множество элементов вида ${\displaystyle a_{1}e_{1}+...+a_{n}e_{n}}$, где ${\displaystyle a_{j}\in \mathbb {Z} }$, а ${\displaystyle e_{i}}$ - некоторый базис решётки.

Пространство ${\displaystyle A}$ устроено так: ${\displaystyle l:L\to A}$, ${\displaystyle l(x)={\bar {\lambda }}=(\lambda _{1},...,\lambda _{s+r})}$, ${\displaystyle l_{k}(x)=\ln |x_{k}|,k=1,...,r}$, ${\displaystyle l_{r+k}(x)=\ln |x_{r+k}|^{2},k=1,...,s}$. ${\displaystyle l(xy)=l(x)+l(y)}$ - переводит умножение в сложение. Если ${\displaystyle N(\alpha )}$ - норма ${\displaystyle \alpha }$, то ${\displaystyle \ln N(\alpha )=\sum \limits _{k=1}^{r+s}l_{k}(x(\alpha ))}$.

Далее рассматривается группа единиц (обратимых элементов) ${\displaystyle E}$ поля ${\displaystyle K}$. Множество ${\displaystyle W=\{\alpha \in K:l(\alpha )=0\}}$ - группа по умножению. Если ${\displaystyle l(\alpha )=0}$, то ${\displaystyle (\forall k)|x_{k}(\alpha )|=|\sigma _{k}(\alpha )|=1}$, т.е. множество ${\displaystyle x(W)}$ ограничено, значит оно конечно, значит ${\displaystyle W}$ состоит из корней из 1 и является подгруппой ${\displaystyle E}$. Если же ${\displaystyle \varepsilon }$ - произвольная единица, то ${\displaystyle N(\varepsilon )=1}$, ${\displaystyle \ln |N(\varepsilon )|=0}$, ${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{r+s}l_{k}(\alpha )=0}$. Это уравнение определяет гиперплоскость ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ размерности ${\displaystyle r+s-1}$. Образ ${\displaystyle l(x(E))}$ - решётка в ${\displaystyle A}$, так как ${\displaystyle l(x(E))}$ - группа по сложению и дискретна как непрерывный образ дискретной решётки ${\displaystyle x(E)}$.

Таким образом, любая единица ${\displaystyle \varepsilon =\zeta \varepsilon _{1}^{a_{1}}...\varepsilon _{d}^{a_{d}}}$, ${\displaystyle \zeta }$ - корень из 1, ${\displaystyle d\leqslant r+s-1}$. Остается доказать, что ранг ${\displaystyle E}$ равен именно ${\displaystyle r+s-1}$, или что ${\displaystyle l(x(E))}$ - полная решётка в ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$. Решётка в пространстве полна тогда и только тогда в пространстве есть ограниченное множество, сдвиги которого на все векторы решётки полностью заполняют все пространство. Для доказательства используется лемма Минковского о выпуклом теле. В качестве тела леммы берется множество ${\displaystyle X:|x_{k}|<c_{k},k=1,...,s,|x_{r+k}|^{2}<c_{r+k},k=1,...,s}$ в ${\displaystyle L}$. Его объём равен ${\displaystyle 2^{s}\pi ^{t}c_{1}\cdot ...\cdot c_{r+s}}$. Применение леммы Минковского дает следующее следствие:

Если объём основного параллелепипеда, натянутого на базисные векторы решётки ${\displaystyle x({\mathcal {O}}_{K})}$, равен ${\displaystyle \Delta }$ и числа ${\displaystyle c_{k}>0}$ таковы, что ${\displaystyle c_{1}\cdot ...\cdot c_{r+s}>(4/\pi )^{t}\Delta }$, то в решётке ${\displaystyle x({\mathcal {O}}_{K})}$ есть ненулевой вектор ${\displaystyle x}$ такой, что ${\displaystyle |x_{k}|<c_{k},k=1,...,r,|x_{r+k}|^{2}<c_{r+k},k=1,...,s}$.

Для любого ${\displaystyle \alpha :N(\alpha )<Q,\alpha \neq 0}$, имеем ${\displaystyle 0\leqslant \lambda _{1}+...+\lambda _{r+s}<Q}$. Обозначим ${\displaystyle {\mathcal {I}}=\{{\bar {\lambda }}:\lambda _{1}+...+\lambda _{r+s}=\ln Q\}}$ - гиперплоскость, параллельная ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$. Пусть ${\displaystyle {\bar {\lambda }}^{0}\in {\mathcal {I}}}$ - произвольна, а ${\displaystyle c_{k}:\lambda _{k}^{0}=\ln c_{k}}$. Если ${\displaystyle Q>(4/\pi )^{t}\Delta }$ - достаточно велико, то ${\displaystyle c_{1}\cdot ...\cdot c_{k}>(4/\pi )^{t}\Delta }$, и значит по следствию выше из леммы Минковского существует ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {O}}_{K},\alpha \neq 0}$ такое, что ${\displaystyle |\sigma _{k}(\alpha )|<c_{k},k=1,...,r,|\sigma _{r+k}(\alpha )|^{2}<c_{r+k},k=1,...,s}$, то есть ${\displaystyle N(\alpha )<Q}$, ${\displaystyle l_{k}(\alpha )<\lambda _{k}^{0},k=1,...,r+s}$.

Обозначим для произвольного ${\displaystyle \alpha :N(\alpha )<Q}$ вышеупомянутое множество ${\displaystyle \{{\bar {\lambda }}:\lambda _{k}>l_{k}(\alpha )\}}$ как ${\displaystyle Y_{\alpha }}$. Ясно, что все множества ${\displaystyle Y_{\alpha }}$ ограничены. ${\displaystyle Y_{\alpha \varepsilon }=Y_{\alpha }+l(\varepsilon )}$, т.е. ${\displaystyle Y_{\alpha \varepsilon }}$ получается сдвигом ${\displaystyle Y_{\alpha }}$ на вектор ${\displaystyle l(\varepsilon )}$

В ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ существует только конечное число попарно неассоциированных чисел ${\displaystyle \alpha _{1},...,\alpha _{N}}$, нормы которых по модулю меньше ${\displaystyle Q}$, то есть если ${\displaystyle N(\alpha )<Q}$, то ${\displaystyle \alpha =\alpha _{i}\varepsilon }$ для какой-то единицы ${\displaystyle \varepsilon }$. Поскольку ${\displaystyle Y_{\alpha }}$ покрывают все ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$, а ${\displaystyle Y_{\alpha }=Y_{\alpha _{i}}+l(\varepsilon )}$, значит сдвиги ограниченного множества ${\displaystyle Y=Y_{\alpha _{1}}\cup ...\cup Y_{\alpha _{N}}}$ на все векторы ${\displaystyle l(\varepsilon )}$ покроют все ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$. Значит сдвиги ограниченного множества ${\displaystyle U=Y-{\frac {\ln Q}{r+s}}(1,1,...,1)}$ на все векторы ${\displaystyle l(\varepsilon )}$ покроют все ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$, что доказывает теорему.

• Поскольку для расширения степени n выполнено ${\displaystyle r+2s=n}$, то ${\displaystyle d\leqslant n-1}$, причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда все вложения ${\displaystyle K}$ в ${\displaystyle \mathbb {C} }$ чисто вещественные.

• Группа единиц поля исчерпывается корнями из 1 тогда и только тогда, когда ${\displaystyle r+s=1}$, т.е. для ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$ и для ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}$ — мнимого квадратичного расширения. Во всех остальных случаях всегда имеется как минимум одна основная единица.

• Существование нетривиальных целых решений уравнения Пелля ${\displaystyle x^{2}-my^{2}=1}$ выводится из этой теоремы, применённой к ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {m}})}$ — квадратичному расширению ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

• Случай группы обратимых элементов максимального ранга связан[1] с многомерными цепными дробями.

• Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987. — С. 237.
• Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. — М.: Наука, главная редакция физико-математической литературы, 1985. — С. 131.