Теорема Минковского о выпуклом теле

Пусть ${\displaystyle S}$ — замкнутое выпуклое тело, симметричное относительно начала координат ${\displaystyle O}$, ${\displaystyle n}$-мерного евклидова пространства, имеющее объём ${\displaystyle \geqslant 2^{n}}$. Тогда в ${\displaystyle S}$ найдётся целочисленная точка, отличная от ${\displaystyle O}$.

Ниже приведено доказательство теоремы Минковского для частного случая L = ℤ². Оно может быть обобщено на произвольную размерность.

Рассмотрим отображение

${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} ^{2}\qquad (x,y)\mapsto (x{\bmod {2}},y{\bmod {2}})}$

Интуитивно, это отображение нарезает тело на квадраты размером 2 на 2, которые накладывает один поверх другого. Очевидно, что площадь f(S) ≤ 4. Если бы отображение f было инъективно, то части S, вырезанные квадратами, совмещались бы без перекрытия. Так как f сохраняет локальные площади фрагментов, то это свойство непересечения сделало бы отображение f сохраняющим площадь всего S, так что площадь f(S) была бы такой же, как у S - численно больше 4. Раз это не так, то f не инъективно, а следовательно, f(p₁) = f(p₂) для некоей пары точек p₁, p₂ ∈ S. Более того, по определению f мы знаем, что p₂ = p₁ + (2i, 2j) для неких целочисленных i и j, где хотя бы одно из них не равно нулю.

Тогда, так как S симметрично относительно начала координат, −p₁ также входит в S. Так как S выпукло, то отрезок между −p₁ и p₂ полностью лежит в S. Середина этого отрезка

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(-p_{1}+p_{2}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(-p_{1}+p_{1}+(2i,2j)\right)=(i,j)}$

лежит в S. (i,j) является целочисленной точкой и не является началом координат (i и j не могут оба быть равными нулю). Таким образом, мы нашли искомую точку.

• Обобщением теоремы Минковского на невыпуклые множества является теорема Блихфельдта (англ.).
• В 2007 году Николай Дуров показал, что теорема Минковского может быть воспринята как вариант теоремы Римана — Роха для пополненного спектра ${\displaystyle \mathbb {Z} }$[1].