Правила Фудзиты

Пусть заданы две точки ${\displaystyle p_{1}}$ и ${\displaystyle p_{2}}$, тогда лист можно сложить так, что данные две точки будут лежать на складке.

Пусть заданы две точки ${\displaystyle p_{1}}$ и ${\displaystyle p_{2}}$, тогда лист можно сложить так, что одна точка перейдёт в другую.

Пусть заданы две прямые ${\displaystyle l_{1}}$ и ${\displaystyle l_{2}}$, тогда лист можно сложить так, что одна прямая перейдёт в другую.

Пусть заданы прямая ${\displaystyle l_{1}}$ и точка ${\displaystyle p_{1}}$, тогда лист можно сложить так, что точка попадёт на складку, а прямая перейдёт сама в себя (то есть линия складки будет ей перпендикулярна).

Пусть заданы прямая ${\displaystyle l_{1}}$ и две точки ${\displaystyle p_{1}}$ и ${\displaystyle p_{2}}$, тогда лист можно сложить так, что точка ${\displaystyle p_{2}}$ попадёт на складку, а ${\displaystyle p_{1}}$ — на прямую ${\displaystyle l_{1}}$.

Пусть заданы две прямые ${\displaystyle l_{1}}$ и ${\displaystyle l_{2}}$ и две точки ${\displaystyle p_{1}}$ и ${\displaystyle p_{2}}$, тогда лист можно сложить так, что точка ${\displaystyle p_{1}}$ попадёт на прямую ${\displaystyle l_{1}}$, а точка ${\displaystyle p_{2}}$ попадёт на прямую ${\displaystyle l_{2}}$.

Пусть заданы две прямые ${\displaystyle l_{1}}$ и ${\displaystyle l_{2}}$ и точка ${\displaystyle p}$, тогда лист можно сложить так, что точка ${\displaystyle p}$ попадёт на прямую ${\displaystyle l_{1}}$, а прямая ${\displaystyle l_{2}}$ перейдёт сама в себя (то есть линия складки будет ей перпендикулярна).

Все складки в этом списке можно получить как результат последовательного применения правила номер 6. То есть для математика они ничего не добавляют, однако позволяют уменьшить количество сгибов. Система из семи правил является полной в том смысле, что они описывают все возможные способы получения одной новой складки на листе бумаги, путём совмещения уже существующих различных элементов листа. Это последнее утверждение было доказано Лэнгом[1].

Все построения являются ничем иным, как решениями какого-либо уравнения, причём коэффициенты этого уравнения связаны с длинами заданных отрезков. Поэтому удобно говорить о построении числа — графического решения уравнения определенного типа. В рамках вышеописанных требований, возможны следующие построения:

• Построение решений линейных уравнений.
• Построение решений квадратных уравнений.
• Построение решений кубических уравнений (правило 6).

Иначе говоря, возможно построить лишь числа равные арифметическим выражениям с использованием квадратного и кубического корней из исходных чисел (длин отрезков). В частности, при помощи таких построений можно осуществить удвоение куба, трисекцию угла, построение правильного семиугольника.

Решение задачи о квадратуре круга однако остаётся невозможным, так как π — трансцендентное число.