Квадратный корень из матрицы

Квадратный корень из матрицы — расширение понятия числового квадратного корня на кольцо квадратных матриц.

Определение

Матрица называется квадратным корнем из матрицы , если квадрат то есть матричное произведение совпадает с матрицей

Существование и однозначность

Не для всех матриц квадратный корень существует. Например, не имеет корня матрица . Эта матрица также является делителем нуля и квадратным корнем из нуля. Таким образом, в кольце матриц нуль имеет бесконечно много квадратных корней.

В тех случаях, когда корень существует, он не всегда определён однозначно. Например, матрица имеет четыре корня: и .

Единичная матрица имеет следующие 6 корней среди матриц, состоящих из , и :

а также бесконечно много симметричных рациональных квадратных корней вида:

где — произвольная пифагорова тройка, то есть тройка натуральных чисел, для которых .

Сложность извлечения корня из матрицы обусловлена тем, что кольцо матриц некоммутативно и имеет делители нуля, то есть не является областью целостности. В области целостности, например в кольце многочленов над полем, всякий элемент имеет не более двух квадратных корней.

Положительно определённые матрицы

Положительно определённая матрица всегда имеет ровно один положительно определённый корень, который называется арифметическим квадратным корнем[1].

Всего же положительно определённая матрица порядка с различными собственными значениями имеет корней. Разложив такую матрицу по собственным векторам, получим её представление в виде где диагональная матрица с собственными значениями . Тогда квадратные корни из матрицы имеют вид где — диагональная матрица с элементами на диагонали.

Литература

  • Гантмахер Ф. Р.. Теория матриц. М.: ГИТТЛ, 1953, С. 212—219.
  • Воеводин В. В., Воеводин Вл. В. Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ. Спб.: БХВ-Петербург, 2006.

Примечания

  1. Валентин Васильевич Воеводин, Юрий Алексеевич Кузнецов. Матрицы и вычисления. — "Наука," Глав. ред. физико-математической литературы, 1984. — С. 88-89. — 330 с.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.