Неявная функция

Типичным видом неявной функции является обратная функция. Не все функции имеют единственную обратную функцию. Если g является функцией от x, имеющей единственную обратную функцию, то обратная функция к g, обозначаемая как ${\displaystyle g^{-1}}$, является единственной функцией, дающей решение уравнения

${\displaystyle y=g(x)}$

по x в терминах y. Решение можно тогда записать как:

${\displaystyle x=g^{-1}(y)\,.}$

Определение ${\displaystyle g^{-1}}$ в качестве обратной функции для g является неявным определением. Для некоторых функций g функция ${\displaystyle g^{-1}(y)}$ может быть записана в замкнутой форме. Например, если ${\displaystyle g(x)=2x-1}$, имеем ${\displaystyle g^{-1}(y)={\tfrac {1}{2}}(y+1)}$. Однако часто это сделать невозможно или можно сделать только при введении дополнительных обозначений (как для W-функции Ламберта в примере ниже).

Интуитивно, обратная функция получается из g путём смены ролей переменных.

Пример. W-функция Ламберта является неявной функцией, дающей решения по x уравнения ${\displaystyle y-xe^{x}=0}$.

Алгебраическая функция — это функция, которая удовлетворяет полиномиальному уравнению, коэффициенты которого сами являются многочленами. Например, алгебраическая функция от одной переменной x даёт решение для y уравнения

${\displaystyle a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0\,,}$

где коэффициенты ${\displaystyle a_{i}(x)}$ являются многочленами от x. Эту алгебраическую функцию можно записать как правую часть решения уравнения ${\displaystyle y=f(x)}$. Если записать таким образом, функция f окажется многозначной неявной функцией.

Алгебраические функции играют важную роль в математическом анализе и алгебраической геометрии. Простой пример алгебраической функции задаётся левой частью уравнения единичной окружности:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0\,.}$

Решение уравнение по y даёт явное решение:

${\displaystyle y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}\,.}$

Но даже без указания явного решения можно указать неявное решение уравнения единичной окружности как ${\displaystyle y=f(x)}$, где f является многозначной неявной функцией.

Хотя явное решение можно найти для квадратных, кубических уравнений и уравнений четвёртой степени, в общем случае это неверно для уравнений пятой степени и выше, таких как

${\displaystyle y^{5}+2y^{4}-7y^{3}+3y^{2}-6y-x=0\,.}$

Тем не менее, можно продолжать ссылаться на неявное решение ${\displaystyle y=f(x)}$, используя многозначную неявную функцию f.

Пример 1. Рассмотрим

${\displaystyle y+x+5=0\,.}$

Это уравнение легко решить по y, что даёт

${\displaystyle y=-x-5\,,}$

где правая часть является явным представлением функции ${\displaystyle y(x)}$. Дифференцирование даёт ${\displaystyle {\tfrac {dy}{dx}}=-1}$.

Можно, однако, продифференцировать исходное уравнение:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}+{\frac {dx}{dx}}+{\frac {d}{dx}}(5)&=0\,;\\[6px]{\frac {dy}{dx}}+1+0&=0\,.\end{aligned}}}$

Решая относительно ${\displaystyle {\tfrac {dy}{dx}}}$, получим

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-1\,,}$

и получаем тот же ответ, что и до этого.

Пример 2. Примером неявной функции, для которой неявное дифференцирование проще, чем явное, служит функция ${\displaystyle y(x)}$, выраженная уравнением

${\displaystyle x^{4}+2y^{2}=8\,.}$

Чтобы явно продифференцировать по x, сначала перепишем равенство в виде

${\displaystyle y(x)=\pm {\sqrt {\frac {8-x^{4}}{2}}}\,,}$

а теперь дифференцируем эту функцию. Это создаёт две производные — одна для ${\displaystyle y\geqslant 0}$, а другая для ${\displaystyle y<0}$.

Существенно проще выполнить неявное дифференцирование исходного уравнения:

${\displaystyle 4x^{3}+4y{\frac {dy}{dx}}=0\,,}$

что даёт

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {-4x^{3}}{4y}}=-{\frac {x^{3}}{y}}\,.}$

Пример 3. Часто трудно или даже невозможно решить уравнение явно относительно y, и неявное дифференцирование становится единственным допустимым методом дифференцирования. Примером является уравнение

${\displaystyle y^{5}-y=x\,.}$

Невозможно алгебраически выразить y как функцию от x, поэтому нельзя найти ${\displaystyle {\tfrac {dy}{dx}}}$ путём явного дифференцирования. Используя неявный метод можно получить ${\displaystyle {\tfrac {dy}{dx}}}$ путём дифференцирования уравнения, что даёт

${\displaystyle 5y^{4}{\frac {dy}{dx}}-{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}}\,,}$

где ${\displaystyle {\tfrac {dx}{dx}}=1}$. Выносим ${\displaystyle {\tfrac {dy}{dx}}}$ и получаем

${\displaystyle \left(5y^{4}-1\right){\frac {dy}{dx}}=1\,,}$

что даёт в результате выражение

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{5y^{4}-1}}\,,}$

которое определено для

${\displaystyle y\neq \pm {\frac {1}{\sqrt[{4}]{5}}}\quad }$ и ${\displaystyle \quad y\neq \pm {\frac {i}{\sqrt[{4}]{5}}}\,.}$

Если ${\displaystyle R(x,y)=0}$, производная неявной функции ${\displaystyle y(x)}$ дана у Стюарта[2]

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\,{\frac {\partial R}{\partial x}}\,}{\frac {\partial R}{\partial y}}}=-{\frac {R_{x}}{R_{y}}}\,,}$

где ${\displaystyle R_{x}}$ и ${\displaystyle R_{y}}$ обозначают частные производные функции R соответственно по x и y.

Вышеприведённая формула получается из многомерного варианта дифференцирования сложной функции для получения полной производной функции по x обеих сторон выражения ${\displaystyle R(x,y)=0}$:

${\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial R}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,}$

следовательно

${\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial x}}+{\frac {\partial R}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,}$

откуда, при решении относительно ${\displaystyle {\tfrac {dy}{dx}}}$ получаем вышеупомянутое выражение.

В экономической науке, где множество уровня ${\displaystyle R(x,y)=0}$ является кривой безразличия для величин x и y расходуемых материалов, абсолютное значение неявной производной ${\displaystyle {\tfrac {dy}{dx}}}$ интерпретируется как предельная норма замещения двух материалов — сколько нужно y, чтобы не заметить потери единицы материала x.

Аналогично иногда множество уровня ${\displaystyle R(L,K)}$ является изоквантой, показывающей различные комбинации используемой рабочей силы L и производственного капитала K, которые приводят к производству некоторого определённого количества продуктов. В этом случае абсолютное значение неявной производной ${\displaystyle {\tfrac {dK}{dL}}}$ интерпретируется как предельная норма технического замещения между двумя факторами производства — насколько больше капитала фирмы потребуется для производства того же количества продукта при уменьшении на единицу рабочей силы.

Часто в теоретической экономике некоторая функция, такая как функция полезности или прибыли, максимизируется по вектору x, даже если целевая функция не ограничена определённой формой. Теорема о неявной функции гарантирует, что условия первого порядка задачи оптимизации определяют неявную функцию для каждого элемента оптимального вектора ${\displaystyle x*}$. В случае максимизации прибыли обычно неявной функцией служат потребность в рабочей силе и предложение различных продуктов. Если максимизируется полезность, обычно неявными функциями выступают трудовые ресурсы и кривые спроса для различных продуктов.

Более того, влияние параметров задачи на ${\displaystyle x*}$ — частные производные неявной функции — может быть выражено посредством системы полных производных первого порядка, найденных с помощью полной производной функции.