Нуль функции
Нуль функции в математике — элемент из области определения функции, в котором она принимает нулевое значение. Например, для функции , заданной формулой

является нулём, поскольку
- .
Понятие нулей функции можно рассматривать для любых функций, область значений которых содержит нуль или нулевой элемент соответствующей алгебраической структуры.
Для функции действительного переменного нулями являются значения, в которых график функции пересекает ось абсцисс.
Нахождение нулей функции часто требует использования численных методов (к примеру, метод Ньютона, градиентные методы).
Одной из нерешённых математических проблем является нахождение нулей дзета-функции Римана.
Корень многочлена
Основная теорема алгебры
Основная теорема алгебры утверждает, что каждый многочлен степени n имеет n комплексных корней, с учётом их кратности. У кубического уравнения, как показано выше, всегда три комплексных корня, с учётом кратности. Все мнимые корни многочлена, если они есть, всегда входят сопряжёнными парами, только если все коэффициенты многочлена вещественны. Каждый многочлен нечётной степени с вещественными коэффициентами имеет по крайней мере один действительный корень. Связь между корнями многочлена и его коэффициентами устанавливает теорема Виета.
Комплексный анализ
Простой нуль голоморфной в некоторой области функции — точка , в некоторой окрестности которой справедливо представление , где голоморфна в и не обращается в этой точке в нуль.
Нуль порядка голоморфной в некоторой области функции — точка , в некоторой окрестности которой справедливо представление , где голоморфна в и не обращается в этой точке в нуль.
Нули голоморфной функции изолированы.
Другие специфические свойства нулей комплексных функций выражаются в различных теоремах:
История
Кубические уравнения
Исторически к появлению понятия мнимых чисел привело решение уравнений 3-й степени с тремя разными действительными корнями. По формуле Кардано все три корня уравнения равны
где (на месте плюс-минуса подходят оба знака, если только C не обращается в 0), а — это все возможные комплексные корни 3-й степени из 1, а именно и
- Если число под квадратным корнем меньше нуля, а k и l вещественны, то и — невещественные сопряжённые числа, а значит, при их сложении получатся три разных вещественных корня кубического уравнения.
- Если равняется нулю, то кубическое уравнение имеет один трёхкратный корень или два различных корня, один из которых двукратен.
- Если же больше нуля, а k и l действительны, то одно из чисел является действительным, однако и уже не сопряжены: у них разные модули, — и в итоге у кубического уравнения только один вещественный корень, а остальные два — нет.
— это дискриминант уравнения знак которого как раз определяет вещественность и кратность корней.
На первый взгляд, в 1-м и 3-м пунктах изложены парадоксальные случаи. Эта странность была разрешена и обоснована Рафаэлем Бомбелли и позволила ему полноценно легализовать мнимые числа, а также отрицательные числа, которые до него в Европе не были признаны.
Литература
- Нуль функции — статья из Большой советской энциклопедии.
- Weisstein, Eric W. Root (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
|Шаблон {{rq}} не предназначен для страниц из данного пространства имён.}}