Теорема Гаусса — Люка

Теорема Гаусса — Люка

Для произвольного не равного тождественно постоянной многочлена $P(z)$ с комплексными коэффициентами множество нулей его производной $P'(z)$ принадлежит выпуклой оболочке нулей многочлена $P(z)$ .

О доказательстве

Доказательство теоремы опирается на следующее легко проверяемое утверждение: Если все корни многочлена $P(z)$ находятся в полуплоскости ${\rm {Re}}\,z<0$ , тогда в области ${\rm {Re}}\,z\geq 0$ справедливо неравенство:

{\rm {Re}}\,{P'(z) \over P(z)}>0

,

из которого следует, что все корни производной также должны быть в полуплоскости ${\rm {Re}}\,z<0$ .

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.