Теорема Руше

По теореме Руше, если функции ${\displaystyle f(z)}$ и ${\displaystyle g(z)}$ голоморфны в односвязной области ${\displaystyle G}$, а на контуре ${\displaystyle \partial G}$ выполняется неравенство ${\displaystyle |g(z)|<|f(z)|}$, то в области ${\displaystyle G}$ функции ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle f+g}$ имеют одинаковое количество нулей, при условии, что каждый ноль подсчитан с учётом кратности.

Или: ${\displaystyle f(z)}$ и ${\displaystyle g(z)}$ голоморфны в односвязной области ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle h=f+g}$, а ${\displaystyle K}$ — стандартный компакт, лежащий в ${\displaystyle G}$. Если ${\displaystyle |g(z)|<|f(z)|\forall z\in Fr(K)}$, то ${\displaystyle \int \limits _{\delta k}{\frac {h'(z)}{h(z)}}dz=\int \limits _{\delta k}{\frac {f'(z)}{f(z)}}dz}$