Параметр

В математике термин «параметр» используется в двух значениях:

1. Величина, неизменная в данной задаче либо для данной кривой, но не являющаяся универсальной константой. Например, в функции ${\displaystyle y=pe^{x}}$ величины ${\displaystyle x,y}$ — переменные, ${\displaystyle e}$ — универсальная постоянная, ${\displaystyle p}$ — параметр.
2. Вспомогательная переменная, не входящая в условие задачи, но удобная для решения или для наглядности. Например, уравнение плоской неподвижной окружности ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=25}$ можно заменить системой ${\displaystyle x=5\cos(t),y=5\sin(t)}$, где ${\displaystyle t}$ — параметр, то есть вспомогательная переменная.

В термодинамике используют статистические модели, которые необходимы для теоретического изучения влияния флуктуаций, шумов и т. д. на процессы в колебательных системах; при учёте случайных процессов движение системы будет подчиняться законам статистики[4]. При этом для оценки характеристик и параметров распределений и проверки гипотез используют функцию от результатов наблюдений.

В динамических моделях реальных систем пренебрегают в них флуктуациями и всеми другими статистическими явлениями. Если говорить об идеализации реальных физических систем в виде динамических моделей, зависимости между величинами, определяющими состояние системы, можно выразить в виде тех или иных дифференциальных уравнений, в которые входит некоторое число постоянных параметров, характеризующих систему, то есть отражающих её свойства; постоянные параметры или их комбинации входят в такие уравнения в виде коэффициентов[4].

При исследовании динамических систем иногда выделяют группу «паразитных» параметров — то есть таких, изменение которых в пределах интересующей исследователя области значений не оказывает существенного влияния на поведение системы[5].

В теории динамических бифуркаций[A: 1] параметр рассматривается как зависящий от времени, переменный параметр; притом обычно интерес для исследования свойств системы представляет бифуркационный параметр, то есть такой, при изменении которого в системе происходит та или иная бифуркация[6]. Исследования динамических бифуркаций обычно проводят в быстро-медленных системах, то есть содержащих так называемый малый параметр, при помощи которого систему разделяют на «быструю» и «медленную» части.

В декартовых прямоугольных координатах уравнением ${\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=1}$ определяется множество всех окружностей радиуса ${\displaystyle 1}$ на плоскости ${\displaystyle xOy}$; полагая, например, ${\displaystyle a=3,b=4}$, выделяют из этого множества вполне определённую окружность с центром ${\displaystyle (3,4)}$, и, следовательно, ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ являются параметрами окружности в рассматриваемом множестве[1].

В уравнении идеального газа

${\displaystyle PV=nRT\,}$

• Здесь ${\displaystyle R}$ — это универсальная газовая константа, постоянная не только в конкретной системе, но и для любых газов, поэтому она не является параметром системы.
• Величины ${\displaystyle P,V,n,T}$ могут быть в зависимости от процесса либо переменными, либо параметрами данной газовой системы.

Например, при изохорном процессе (когда неизменен объём ${\displaystyle V}$ и количество вещества ${\displaystyle n}$):

• давление ${\displaystyle P}$ и температура ${\displaystyle T}$ — переменные;
• объём ${\displaystyle V}$ и количество вещества ${\displaystyle n}$ — параметры;
• ${\displaystyle R}$ — константа.

Параметр в программировании — принятый функцией аргумент. Термин «аргумент» подразумевает, что конкретно и какой конкретной функции было передано, а параметр — в каком качестве функция применила это принятое.

При изучении орбитального движения спутников и планет используются разные величины:

• координаты спутника и время являются переменными, а не параметрами;
• гравитационная постоянная является универсальной константой, а не параметром;
• длина большой полуоси, эксцентриситет и другие являются параметрами, так как они для разных орбит могут быть разными, но в пределах одной орбиты они неизменны (или почти неизменны).

В дифференциальном уравнении, которое моделирует рост популяции

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=rP\cdot \left(1-{\frac {P}{K}}\right)}$

где переменная (не параметр) ${\displaystyle P}$ представляет собой размер популяции,
параметр ${\displaystyle K}$ используется в качестве величины, которая определяет максимальное количество особей, которое может прокормить внешняя среда.
параметр ${\displaystyle r}$ определён как скорость роста популяции ${\displaystyle P}$.

Здесь величину ${\displaystyle P}$ принято называть именно переменной, а не параметром, потому что её пытаются вычислить на каждом шаге времени ${\displaystyle t}$, то есть ${\displaystyle P}$ постоянно изменяется при вычислении. Свойство ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle r}$ (параметры) внешней среды и параметр роста популяции неизменны на весь период роста популяции и измеряются проектировщиком модели ещё до составления уравнения.

В статистике слово «параметр» (иногда используется термин «показатель») относится к статистическим свойствам совокупности (средняя, мода, медиана, дисперсия и т.д.). Например, модель нормального распределения величины роста людей ${\displaystyle x}$ в общей совокупности всех людей населяющих Россию может быть задана таким распределением:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}},}$ 

в этой формуле:

• х — переменная — рост человека.
• μ — параметр — математическое ожидание (среднее значение), медиана и мода распределения.
• σ — параметр — среднеквадратическое отклонение распределения.
• ${\displaystyle e,\pi }$ — математические константы.