Теорема де Гуа

Выразим ребра DA, DB и DC прямоугольного тетраэдра через единичные координатные векторы ${\displaystyle {\vec {e}}_{1}}$, ${\displaystyle {\vec {e}}_{2}}$ и ${\displaystyle {\vec {e}}_{3}}$[1]:

${\displaystyle DA=a{\vec {e}}_{1};\quad DB=b{\vec {e}}_{2};\quad DC=c{\vec {e}}_{3},}$

где ${\displaystyle a,b,c}$ — длины соответствующих сторон тетраэдра.

Для векторов AB и АС имеем:

${\displaystyle AB=b{\vec {e}}_{2}-a{\vec {e}}_{1};\quad AC=c{\vec {e}}_{3}-a{\vec {e}}_{1}.}$

Поскольку площадь треугольника равна половине векторного произведения двух его сторон,

${\displaystyle S_{ABC}={\frac {1}{2}}(b{\vec {e}}_{2}-a{\vec {e}}_{1})\times (c{\vec {e}}_{3}-a{\vec {e}}_{1}).}$

Возведя последнее выражение в квадрат и раскрыв скобки c учётом того, что попарные векторные произведения единичных координатных векторов равны единице, получим

${\displaystyle S_{ABC}^{2}={\frac {1}{4}}(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}).}$

Площади граней ABD, ACD и BCD равны

${\displaystyle S_{ABD}={\frac {ab}{2}};\quad S_{ACD}={\frac {ac}{2}};\quad S_{BCD}={\frac {bc}{2}},}$

откуда

${\displaystyle S_{ABC}^{2}=S_{ABD}^{2}+S_{ACD}^{2}+S_{BCD}^{2}.}$

Известно, что площадь проекции плоской фигуры на некоторую плоскость равна площади этой фигуры, умноженной на косинус двугранного угла между фигурой и плоскостью проекции[2]. Проекциями треугольника ABC на координатные плоскости являются треугольники ABD, ACD и BCD. Поэтому

${\displaystyle S_{ABD}=S_{ABC}\cos \alpha$ ;\quad S_{ACD}=S_{ABC}\cos \beta ;\quad S_{BCD}=S_{ABC}\cos \gamma ,}

где ${\displaystyle \cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma }$ — направляющие косинусы нормали к плоскости ABC.

Согласно свойству направляющих косинусов

${\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =1,}$

откуда

${\displaystyle S_{ABC}^{2}=S_{ABC}^{2}\cos ^{2}\alpha +S_{ABC}^{2}\cos ^{2}\beta +S_{ABC}^{2}\cos ^{2}\gamma }$

и

${\displaystyle S_{ABC}^{2}=S_{ABD}^{2}+S_{ACD}^{2}+S_{BCD}^{2}.}$

Теорема может быть доказана, исходя из формулы Герона для площади треугольника и теоремы Пифагора.