Вершина (геометрия)

Вершина — точка, в которой две кривые, две прямые либо два ребра сходятся. Из этого определения следует, что точка, в которой сходятся два луча, образуя угол, является вершиной, а также ею являются угловые точки многоугольников и многогранников[1].

Определение

Вершина угла
Вершина угла — это точка, окуда берут начало два луча.

Вершина угла — это точка, откуда берут начало два луча; где сходятся два отрезка; где две прямые пересекаются; где любая комбинация лучей, отрезков и прямых, образующих две (прямолинейные) «стороны», которые сходятся в одной точке[2].

Вершина многоугольника многогранника

Вершина — это угловая точка многоугольника или многогранника (любой размерности), иначе говоря его 0-мерная граней.

В многоугольнике вершина называется «выпуклой», если внутренний угол многоугольника меньше π радиан (180° — два прямых угла). В противном случае вершина называется «вогнутой».

Более обще, вершина многогранника является выпуклой, если пересечение многогранника с достаточно малой сферой, имеющей вершину в качестве центра, представляет собой выпуклую фигуру; в противном же случае вершина является вогнутой.

Вершины многогранника связаны с вершинами графа, поскольку многогранника является графом, вершины которого соответствуют вершинам многогранника[3], а следовательно, граф многогранника можно рассматривать как одномерный симплициальный комплекс, вершинами которого служат вершины графа. Однако, в теории графов вершины могут иметь менее двух инцидентных рёбер, что обычно не разрешается для вершин геометрических. Также имеется связь между геометрическими вершинами и вершинами кривой, точками экстремумов её кривизны — вершины многоугольника в некотором смысле являются точками бесконечной кривизны, и, если многоугольник приблизить гладкой кривой, точки экстремальной кривизны будут лежать вблизи вершин многоугольника[4]. Однако, приближение многоугольника с помощью гладкой кривой даёт дополнительные вершины в точках минимальной кривизны.

Вершины плоских мозаик

Вершина плоской мозаики (замощения) — это точка, где встречаются три и более плиток мозаики[5], но не только: плитки замощения также являются многоугольниками, а вершины мозаики являются вершинами этих плиток. Более обще, замощение можно рассматривать как вид топологического CW-комплекса. Вершины других видов комплексов, таких как симплициальные, — это грани нулевой размерности.

Основная вершина
Вершина B является «ухом», поскольку открытый отрезок между вершинами C и D лежит полностью внутри многоугольника. Вершина C является «ртом», поскольку открытый отрезок между A и B лежит полностью вне многоугольника.

Вершина простого многоугольника является основной вершиной, если диагональ пересекает границы только в точках и . Существует два типа основных вершин: «уши» и «рты» (см. ниже)[6].

«Уши»

Основная вершина простого многоугольника называется «ухом», если диагональ лежит полностью в . (см. также выпуклый многоугольник)

«Рты»

Основная вершина простого многоугольника называется «ртом», если диагональ лежит вне .

Число вершин многогранника

Любая поверхность трёхмерного выпуклого многогранника имеет эйлерову характеристику:

где  — число вершин,  — число рёбер, а  — число граней. Это равенство известно как уравнение Эйлера. К примеру, куб имеет 12 рёбер и 6 граней, а потому — 8 вершин: .

Вершины в компьютерной графике

В компьютерной графике объекты часто представляются как триангулированные многогранники, в которых вершинам объекта сопоставляются не только три пространственные координаты, но и другая необходимая для правильного построения изображения объекта графическая информация, такая как цвет, отражательная способность, текстура, нормали вершин[7]. Эти свойства используются при построении изображения с помощью вершинного шейдера, части обработчика вершин.

Примечания
  1. Weisstein, Eric W. Vertex (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  2. Heath, 1956.
  3. McMullen, Schulte, 2002, с. 29.
  4. Bobenko, Schröder, Sullivan, Ziegler, 2008.
  5. Jaric, 1989, с. 9.
  6. Devadoss, O'Rourke, 2011.
  7. Christen, 2009.

Литература
  • Thomas L. Heath. The Thirteen Books of Euclid's Elements. — 2nd ed. — New York: Dover Publications, 1956. — ISBN v1: 0-486-60088-2 , v2: 0-486-60089-0 , v3: 0-486-60090-4. (Аутентичный перевод книги Евклида «Начала» с обширными историческими исследованиями и детальными комментариями по тексту книги.)
  • Lanru Jing, Ove Stephansson. Fundamentals of Discrete Element Methods for Rock Engineering: Theory and Applications. — 2007. — ISBN 978-0-444-82937-5.
  • Peter McMullen, Egon Schulte. Abstract Regular Polytopes. — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 0-521-81496-0.
  • Introduction to the Mathematics of Quasicrystals / M.V. Jaric. — Academic Press, 1989. — Т. 2. — (Aperiodicity and Order). — ISBN 0-12-040602-0.
  • Alexander I. Bobenko, Peter Schröder, John M. Sullivan, Günter M. Ziegler Discrete differential geometry. — Birkhäuser Verlag AG, 2008. — ISBN 978-3-7643-8620-7.
  • Satyan Devadoss, Joseph O'Rourke. Discrete and Computational Geometry. — Princeton University Press, 2011. — ISBN 978-0-691-14553-2.
  • Martin Christen. Clockworkcoders Tutorials: Vertex Attributes. — Khronos Group, 2009.

Ссылки
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.