Интеграл от секанса

Интегрирование тригонометрической функции секанса было предметом одной из «нерешённых задач середины семнадцатого века», которая была решена в 1668 году Джеймсом Грегори[1]. В 1599 году Эдвард Райт оценил интеграл с помощью численных методов — то, что мы сегодня называем Римановыми суммами[2]. Он нашёл решение для целей картографии — а именно, для построения точных проекций Меркатора[1]. В 1640-х годах Генри Бонд, преподаватель навигации, геодезической съёмки и других математических дисциплин, сравнил таблицы значений интеграла от секанса, составленные Райтом с помощью численных методов, с таблицами логарифмов от тангенса, и гипотетически заключил[1], что

${\displaystyle \int \sec \theta \,d\theta =\ln \left|\operatorname {tg} \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C.}$

Эта гипотеза получила широкую известность. Исаак Ньютон упоминает о ней в своих письмах в 1665 году[3][4].

Хотя Грегори доказал гипотезу Бонда в 1668 году в своих Exercitationes Geometricae, Исаак Барроу в 1670 году в Geometrical Lectures решил задачу более изящным методом. Его решение было самым ранним случаем использования разложения дробей при интегрировании[1]. В соответствии с принятыми в наше время обозначениями, решение Барроу начинается так:

${\displaystyle \int \sec \theta \,d\theta =\int {\frac {d\theta }{\cos \theta }}=\int {\frac {\cos \theta \,d\theta }{\cos ^{2}\theta }}=\int {\frac {\cos \theta \,d\theta }{1-\sin ^{2}\theta }}=\int {\frac {du}{1-u^{2}}}.}$

Это упрощает задачу нахождения первообразных рациональных функций за счёт использования разложения дробей. Дальнейшее решение задачи выглядит следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {du}{1-u^{2}}}&=\int {\frac {du}{(1-u)(1+u)}}=\int \left({\frac {1/2}{1+u}}+{\frac {1/2}{1-u}}\right)\,du\\[10pt]&={\frac {1}{2}}\ln \left|1+u\right|-{\frac {1}{2}}\ln \left|1-u\right|+C={\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {1+u}{1-u}}\right|+C.\end{aligned}}}$

И в конечном счёте, выполнив обратную замену ${\displaystyle u=\sin \theta ,}$ возвращаемся к функции от переменной θ. Окончательно интеграл может быть записан в следующих эквивалентных формах:

${\displaystyle \int \sec \theta \,d\theta =\left\{{\begin{array}{l}{\dfrac {1}{2}}\ln \left|{\dfrac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}\right|+C\\[15pt]\ln \left|\sec \theta +\tan \theta \right|+C\\[15pt]\ln \left|\tan \left({\dfrac {\theta }{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)\right|+C\\[15pt]\operatorname {arsh} \left(\operatorname {tg} \theta \right)+C=\operatorname {arch} \left(\sec \theta \right)+C=\operatorname {arth} \left(\sin \theta \right)+C\\[15pt]\end{array}}\right\}=\operatorname {lam} \theta +C.}$

Здесь через ${\displaystyle \operatorname {lam} \theta }$ обозначен ламбертиан — функция, обратная функции Гудермана. Меркаторская проекция сферы на плоскость описывается именно этой функцией, дающей зависимость вертикальной координаты y точки-проекции от географической широты θ точки-прообраза: y = lam θ.

Интеграл может быть также взят с помощью универсальной тригонометрической подстановки, но в этом случае решение будет выглядеть несколько сложнее, чем то, которое приведено выше.