Интерполяция

Рассмотрим систему несовпадающих точек ${\displaystyle x_{i}}$ (${\displaystyle i\in {0,1,\dots ,N}}$) из некоторой области ${\displaystyle D}$. Пусть значения функции ${\displaystyle f}$ известны только в этих точках:

${\displaystyle y_{i}=f(x_{i}),\quad i=1,\ldots ,N.}$

Задача интерполяции состоит в поиске такой функции ${\displaystyle F}$ из заданного класса функций, что

${\displaystyle F(x_{i})=y_{i},\quad i=1,\ldots ,N.}$

• Точки ${\displaystyle x_{i}}$ называют узлами интерполяции, а их совокупность — интерполяционной сеткой.
• Пары ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ называют точками данных или базовыми точками.
• Разность между «соседними» значениями ${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}}$ — шагом интерполяционной сетки. Он может быть как переменным, так и постоянным.
• Функцию ${\displaystyle F(x)}$ — интерполирующей функцией или интерполянтом.

1. Пусть мы имеем табличную функцию, наподобие описанной ниже, которая для нескольких значений ${\displaystyle x}$ определяет соответствующие значения ${\displaystyle f}$:

${\displaystyle x}$	${\displaystyle f(x)}$
0	0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

Интерполяция помогает нам узнать, какое значение может иметь такая функция в точке, отличной от указанных точек (например, при x = 2,5).

К настоящему времени существует множество различных способов интерполяции. Выбор наиболее подходящего алгоритма зависит от ответов на вопросы: как точен выбираемый метод, каковы затраты на его использование, насколько гладкой является интерполяционная функция, какого количества точек данных она требует и т. п.

2. Найти промежуточное значение (способом линейной интерполяции).

${\displaystyle$ ?=15.5+{\frac {(6378-6000)}{8000-6000}}*{\frac {(19.2-15.5)}{1}}=16.1993}

• Экстраполяция — методы нахождения точек за пределами заданного интервала (продление кривой)
• Ретрополяция — методы нахождения по известным значениям переменной её неизвестных значений в начале динамического ряда.
• Аппроксимация — методы построения приближённых кривых

• Интерполяционные формулы
• Регрессия (математика)
• Метод наименьших квадратов
• Сглаживание данных эксперимента

• Й. Берг, Й. Лёфстрём. Интерполяционные пространства. Введение. — М.: Мир, 1980. — 264 с.
• Ибрагимов И. И. Методы интерполяций функций и некоторые их применения. — М.: Высшая школа, 1971. — 520 c.
• Уолш Дж. Л. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области. — М.: Иностранная литература, 1961. — 508 c.
• Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. — М.: Мир, 1980. — 664 c.