Билинейная интерполяция

Допустим, что необходимо интерполировать значение функции ${\displaystyle f(x,y)}$ в точке ${\displaystyle P=(x,y)}$. Значения функции в окружающих точку ${\displaystyle P}$ точках ${\displaystyle Q_{11}=(x_{1},y_{1}),}$ ${\displaystyle Q_{12}=(x_{1},y_{2}),}$ ${\displaystyle Q_{21}=(x_{2},y_{1})}$ и ${\displaystyle Q_{22}=(x_{2},y_{2})}$ известны (рис. 1).

Первым шагом линейно интерполируется значение вспомогательных точек ${\displaystyle R_{1}}$ и ${\displaystyle R_{2}}$ вдоль оси абсцисс, где

${\displaystyle R_{1}=(x,y_{1})}$

${\displaystyle R_{2}=(x,y_{2})}$

${\displaystyle f(R_{1})\approx {\frac {x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{11})+{\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{21})}$

${\displaystyle f(R_{2})\approx {\frac {x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{12})+{\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{22})}$

Теперь проводится линейная интерполяция между вспомогательными точками ${\displaystyle R_{1}}$ и ${\displaystyle R_{2}}$.

${\displaystyle f(P)\approx {\frac {y_{2}-y}{y_{2}-y_{1}}}f(R_{1})+{\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}f(R_{2}).}$

Это и есть интерполируемое (экстраполируемое) значение функции ${\displaystyle f(x,y)}$, причём значения интерполирующей функции ${\displaystyle F(x,y)}$ равны значениям интерполируемой функции в исходных точках ${\displaystyle (x_{1},y_{1});(x_{1},y_{2});(x_{2},y_{1});(x_{2},y_{2})}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y)&\approx F(x,y)={\frac {f(Q_{11})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}(x_{2}-x)(y_{2}-y)\ +\\&+{\frac {f(Q_{21})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}(x-x_{1})(y_{2}-y)\ +\\&+{\frac {f(Q_{12})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}(x_{2}-x)(y-y_{1})\ +\\&+{\frac {f(Q_{22})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}(x-x_{1})(y-y_{1}).\end{aligned}}}$

Другим эквивалентным способом неизвестные коэффициенты ${\displaystyle b_{1},\ b_{2},\ b_{3},\ b_{4}}$ интерполирующей функции (интерполянта) можно найти из решения системы линейных уравнений относительно коэффициентов интерполянта ${\displaystyle F(x,y)=b_{1}+b_{2}\cdot x+b_{3}\cdot y+b_{4}\cdot x\cdot y}$:

${\displaystyle f(Q_{11})=b_{1}+b_{2}\cdot x_{1}+b_{3}\cdot y_{1}+b_{4}\cdot x_{1}\cdot y_{1},}$

${\displaystyle f(Q_{12})=b_{1}+b_{2}\cdot x_{1}+b_{3}\cdot y_{2}+b_{4}\cdot x_{1}\cdot y_{2},}$

${\displaystyle f(Q_{21})=b_{1}+b_{2}\cdot x_{2}+b_{3}\cdot y_{1}+b_{4}\cdot x_{2}\cdot y_{1},}$

${\displaystyle f(Q_{22})=b_{1}+b_{2}\cdot x_{2}+b_{3}\cdot y_{2}+b_{4}\cdot x_{2}\cdot y_{2}.}$

В частном случае, когда известны значения интерполируемой функции в точках, являющихся вершинами единичного квадрата с координатами вершин (0, 0), (0, 1), (1, 0), и (1, 1), формула билинейной интерполяции упрощается до:

${\displaystyle f(x,y)\approx F(x,y)=f(0,0)\,(1-x)(1-y)+f(1,0)\,x(1-y)+f(0,1)\,(1-x)y+f(1,1)xy.}$

Или же в обозначениях умножения векторов на матрицу:

${\displaystyle f(x,y)\approx {\begin{bmatrix}1-x&x\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f(0,0)&f(0,1)\\f(1,0)&f(1,1)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1-y\\y\end{bmatrix}}}$

Обратите внимание, что сам интерполянт не линеен, а билинеен:

${\displaystyle F(x,y)=b_{1}+b_{2}x+b_{3}y+b_{4}xy,}$

где

${\displaystyle b_{1}=f(0,0)}$

${\displaystyle b_{2}=f(1,0)-f(0,0)}$

${\displaystyle b_{3}=f(0,1)-f(0,0)}$

${\displaystyle b_{4}=f(0,0)-f(1,0)-f(0,1)+f(1,1)}$.

Результат билинейной интерполяции не зависит от порядка шагов по координатам. Возможно сначала интерполировать между заданными точками вдоль оси ординат и затем, получив два вспомогательных значения, интерполировать между ними вдоль оси абсцисс.

Интерполянт билинейной интерполяции можно записать в виде:

${\displaystyle F(x,y)=\sum _{i=0}^{1}\sum _{j=0}^{1}a_{ij}x^{i}y^{j}=a_{00}+a_{10}x+a_{01}y+a_{11}xy,}$

соответственно, интерполянт трилинейной интерполяции функции трёх переменных ${\displaystyle f(x,y,z)}$ записывается как:

${\displaystyle F(x,y,z)=\sum _{i=0}^{1}\sum _{j=0}^{1}\sum _{k=0}^{1}a_{ijk}x^{i}y^{j}z^{k}=}$

${\displaystyle =a_{000}+a_{100}x+a_{010}y+a_{001}z+a_{110}xy+a_{101}xz+a_{011}yz+a_{111}xyz.}$

Неизвестные коэффициенты ${\displaystyle a_{ijk}}$ находятся из решения системы 8-ми линейных уравнений по известным значениям интерполируемой функции ${\displaystyle f(x,y,z)}$ в 8-ми точках, принадлежащих вершинам прямоугольного параллелепипеда в координатах ${\displaystyle x,y,z}$:

${\displaystyle f(x_{0},y_{0},z_{0})=a_{000}+a_{100}x_{0}+a_{010}y_{0}+a_{001}z_{0}+a_{110}x_{0}y_{0}+a_{101}x_{0}z_{0}+a_{011}y_{0}z_{0}+a_{111}x_{0}y_{0}z_{0},}$

${\displaystyle f(x_{1},y_{0},z_{0})=a_{000}+a_{100}x_{1}+a_{010}y_{0}+a_{001}z_{0}+a_{110}x_{1}y_{0}+a_{101}x_{1}z_{0}+a_{011}y_{0}z_{0}+a_{111}x_{1}y_{0}z_{0},}$

${\displaystyle f(x_{0},y_{1},z_{0})=a_{000}+a_{100}x_{0}+a_{010}y_{1}+a_{001}z_{0}+a_{110}x_{0}y_{1}+a_{101}x_{0}z_{0}+a_{011}y_{1}z_{0}+a_{111}x_{0}y_{1}z_{0},}$

${\displaystyle f(x_{0},y_{0},z_{1})=a_{000}+a_{100}x_{0}+a_{010}y_{0}+a_{001}z_{1}+a_{110}x_{0}y_{0}+a_{101}x_{0}z_{1}+a_{011}y_{0}z_{1}+a_{111}x_{0}y_{0}z_{1},}$

${\displaystyle f(x_{1},y_{1},z_{0})=a_{000}+a_{100}x_{1}+a_{010}y_{1}+a_{001}z_{0}+a_{110}x_{1}y_{1}+a_{101}x_{1}z_{0}+a_{011}y_{1}z_{0}+a_{111}x_{1}y_{1}z_{0},}$

${\displaystyle f(x_{1},y_{0},z_{1})=a_{000}+a_{100}x_{1}+a_{010}y_{0}+a_{001}z_{1}+a_{110}x_{1}y_{0}+a_{101}x_{1}z_{1}+a_{011}y_{0}z_{1}+a_{111}x_{1}y_{0}z_{1},}$

${\displaystyle f(x_{0},y_{1},z_{1})=a_{000}+a_{100}x_{0}+a_{010}y_{1}+a_{001}z_{1}+a_{110}x_{0}y_{1}+a_{101}x_{0}z_{1}+a_{011}y_{1}z_{1}+a_{111}x_{0}y_{1}z_{1},}$

${\displaystyle f(x_{1},y_{1},z_{1})=a_{000}+a_{100}x_{1}+a_{010}y_{1}+a_{001}z_{1}+a_{110}x_{1}y_{1}+a_{101}x_{1}z_{1}+a_{011}y_{1}z_{1}+a_{111}x_{1}y_{1}z_{1}.}$

В случае линейной интерполяции функции ${\displaystyle N}$ переменных ${\displaystyle f(u_{1},u_{2},...u_{N})}$ линейный интерполянт будет:

${\displaystyle F(u_{1},u_{2},...u_{N})=\sum _{i_{1}=0}^{1}\sum _{i_{2}=0}^{1}...\sum _{i_{N}=0}^{1}a_{i_{1}i_{2}...i_{N}}u_{1}^{i_{1}}u_{2}^{i_{2}}...u_{N}^{i_{N}}.}$

${\displaystyle 2^{N}}$ коэффициентов интерполянта ${\displaystyle a_{i_{1}i_{2}...i_{N}}}$ находятся из решения системы ${\displaystyle 2^{N}}$ линейных уравнений по известным значениям интерполируемой функции ${\displaystyle f(u_{1},u_{2},...u_{N})}$ в вершинах прямоугольного гиперпараллелепипеда.

Билинейная интерполяция применяется при обработке числовых данных, в метеорологии и гидродинамике, сопротивлении материалов, в компьютерной графике, для компенсации ошибок перемещения инструмента по координатам в станках с ЧПУ и др.

Билинейная интерполяция в компьютерной графике

Рис. 4. Некоторые распространённые виды одномерной и двумерной интерполяций.
Заданные значения функции изображены цветными точками, значение функции в интерполируемой точке — черными точками.
Изображены одномерная и двумерная интерполяции к ближайшему соседу, линейная, квадратическая, кубическая билинейная, биквадратная и бикубическая интерполяции.

Рис. 5. Пример увеличения части изображения — простым масштабированием и с применением билинейной интерполяции.

В компьютерной графике билинейная интерполяция наряду с другими методами интерполяций получила широкое распространение в процессе ресемплинга (или, проще говоря, масштабирования) изображений. Билинейную интерполяцию в приложениях обработки изображений обычно называют «билинейной фильтрацией». Применение этого метода обусловлено относительно низкой вычислительной ресурсоёмкости, что снижает время на ресемплинг при удовлетворительном качестве обработки изображений.

Необходимость интерполяции цветов в обработке цифровых изображений обусловлена тем, что при простом увеличении изображений без обработки происходит сильная пикселизация картинки.

Билинейная интерполяция — один из методов интерполяции и используется для вычисления цветов дополнительных пикселей (${\displaystyle P}$) относительно основных, исходных, заданных в оригинальном изображении с известными цветовыми координатами ${\displaystyle Q}$, причем цветовые координаты пикселей, лежащих внутри прямоугольника с заданными цветовыми координатами в вершинах его, или одна цветовая координата в случае полутоновых изображений, вычисляются во всех точках между опорными точками, что позволяет сглаживать резкие границы между пикселями исходного изображения. Значения функций ${\displaystyle f}$ в данном случае вычисляется по цветовым координатам опорных точек. При этом сторона квадрата, образованного четырьмя смежными рассматриваемыми основными точками обычно принимается за единицу.

• Интерполяция