Линейчатая поверхность

Линейчатая поверхностьповерхность, образованная движением прямой линии. Прямые, принадлежащие этой поверхности, называются прямолинейными образующими, а каждая кривая, пересекающая все прямолинейные образующие, направляющей кривой.

Если ― радиус-вектор направляющей, a ― единичный вектор образующей, проходящей через , то радиус-вектор линейчатой поверхности есть

где ― координата точки на образующей.

Примеры

Свойства

  • Линейчатая поверхность характеризуется тем, что её асимптотическая сетьполугеодезическая.
  • Гауссова кривизна линейчатой поверхности .
  • Теорема Бельтрами. Линейчатую поверхность всегда можно и притом единственным образом изогнуть так, что произвольная линия на ней станет асимптотической.
  • Теорема Бонне. Кроме того, если линейчатая поверхность , не являющаяся развёртывающейся, изгибается в линейчатую поверхность , то либо их образующие соответствуют друг другу, либо обе они изгибаются в квадрику, на которой сеть, соответствующая семействам образующих, ― асимптотическая.
  • Единственная минимальная линейчатая поверхностьгеликоид.
  • Линейчатая поверхность вращения ― однополостный гиперболоид, может быть вырождающейся в цилиндр, конус или плоскость.
  • Существуют примеры гладких линейчатых поверхностей, не допускающих гладких параметризаций вида

Типы

  • Поверхность Каталана — линейчатая поверхность, все прямолинейные образующие которой параллельны одной плоскости.
  • Цилиндрическая поверхность — линейчатая поверхность, все прямолинейные образующие которой параллельны.
  • Коноид — линейчатая поверхность, у которой образующие пересекают фиксированную прямую.

В архитектуре

Вариации и обобщения

Поверхности, образованные движением геодезической в метрическом пространстве также называются линейчатыми поверхностями. Классический результат Александрa Даниловичa Александровa утверждает, что линейчатая поверхность в CAT(0) пространстве с индуцированной внутренней метрикой является CAT(0) пространством.[1]

Примечания

Литература

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.