Полугеодезические координаты

Полугеодезические координаты или геодезические нормальные координаты ― координаты ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$ в ${\displaystyle n}$-мерном римановом многообразии, характеризующиеся тем, что координатные линии, соответствующие ${\displaystyle x_{1}}$, являются геодезическими, на которых ${\displaystyle x_{1}}$ играет роль натурального параметра, а координатные поверхности ${\displaystyle x_{1}=\mathrm {const} }$ ― ортогональны этим геодезическим.

В полугеодезических координатах первая квадратичная форма имеет вид[1]

${\displaystyle \mathrm {I} =dx_{1}^{2}+\sum _{i,j=2}^{n}g_{ij}dx_{i}dx_{j},}$

то есть ${\displaystyle g_{11}\equiv 1}$ и ${\displaystyle g_{1j}\equiv 0}$ при всех ${\displaystyle j>1}$.