Функция Буземана

Функция Буземана — определённый тип функций на метрическом пространстве. Грубо говоря, функцию Буземана можно рассматривать как «расстояние до бесконечно удалённой точки».

История

Эти функции введены Буземаном при изучении глобальных свойств метрических пространств[1]. Позже, они были использованы в теории вероятностей для исследования асимптотических перколяций[2].

Определение

Пусть $(X,d)$ — метрическое пространство. Назовём лучом кривую $\gamma \colon [0,\infty )\to X$ , которая минимизирует расстояние везде вдоль своей длины, то есть для всех $t,t'\in [0,\infty )$ в естественной параметризации выполняется

d{\big (}\gamma (t),\gamma (t'){\big )}={\big |}t-t'{\big |}

.

Функция Буземана для луча γ, $B_{\gamma }\colon X\to \mathbb {R}$ , определяется как предел

B_{\gamma }(x)=\lim _{t\to \infty }{\big (}d{\big (}\gamma (t),x{\big )}-t{\big )}

Замечания

Из неравенства треугольника следует, что
$|d(\gamma (t),x)-t|\leq d(\gamma (0),x)$

для любого

x\in X

. В то же время функция

t\mapsto d(\gamma (t),x)-t

невозрастающая. Поэтому функция Буземана всегда определена для любого луча

\gamma

.

При больших $t$ и фиксированном $x$
$d{\big (}\gamma (t),x{\big )}\approx t+B_{\gamma }(x).$

Свойства

В пространстве Лобачевского, линии уровня функций Буземана образуют орисферы.

Примечания

Буземан Г. Геометрия геодезических. — 1962.
Hoffman, Christopher. "Coexistence for Richardson type competing spatial growth models." The Annals of Applied Probability 15.1B (2005): 739-747.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Буземан Г. Геометрия геодезических. — 1962.

[2] Hoffman, Christopher. "Coexistence for Richardson type competing spatial growth models." The Annals of Applied Probability 15.1B (2005): 739-747.