Параболоид
Параболо́ид ― тип поверхности второго порядка в трёхмерном евклидовом пространстве.
![](../I/Paraboloid_of_Revolution.svg.png.webp)
![](../I/ParabHyper.png.webp)
![](../I/Superf%C3%ADcie_paraboloide_hiperb%C3%B3lico_-_LEMA_-_UFBA_.jpg.webp)
Параболоид может быть охарактеризован как незамкнутая нецентральная (то есть не имеющая центра симметрии) поверхность второго порядка.
Канонические уравнения параболоида в декартовых координатах:
- где и — действительные числа, не равные нулю одновременно.
При этом:
- если и одного знака, то параболоид называется эллиптическим, частный случай эллиптического параболоида в этом случае поверхность принято называть параболоидом вращения;
- если и разного знака, то параболоид называется гиперболическим;
- если один из коэффициентов равен нулю, то параболоид называется параболическим цилиндром.
Cечения параболоида вертикальными (параллельными оси ) плоскостями произвольного положения — параболы.
Сечения параболоида горизонтальными плоскостями, параллельными плоскости для эллиптического параболоида — эллипсы, для параболоида вращения эти пересечения — окружности, когда такое пересечение существует.
Пересечения для гиперболического параболоида — гиперболы.
В частных случаях пересечения, сечением может оказаться прямая или пара прямых (для гиперболического параболоида или пара параллельных прямых для параболического цилиндра) или вырождаться в одну точку (для эллиптического параболоида).
Эллиптический параболоид
![](../I/%D0%AD%D0%BB%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B8%D0%B4.png.webp)
Эллипти́ческий параболо́ид — поверхность, задаваемая функцией вида:
Эллиптический параболоид можно описать как семейство параллельных парабол с ветвями, направленными вверх, вершины которых описывают параболу, с ветвями, также направленными вверх (см. рисунок).
Если , то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную вращением параболы вокруг её оси симметрии.
Гиперболический параболоид
![](../I/Hiperbolic_paraboloid.png.webp)
Гиперболи́ческий параболо́ид (называемый в строительстве «гипар») — седловая поверхность, описываемая в прямоугольной системе координат уравнением вида
- или
Также гиперболический параболоид может быть образован движением параболы, ветви которой направлены вниз, по параболе, ветви которой направлены вверх (см. рисунок).
![](../I/Hyperbolic-paraboloid.svg.png.webp)
Гиперболический параболоид является линейчатой поверхностью.
Поверхность, порождаемая билинейной интерполяцией некоторой функции по 4 точкам, является гиперболическим параболоидом.
Интересные факты
- Поверхность жидкости в равномерно вращающемся сосуде является параболоидом вращения (что не является прямой причиной его названия).
- Часто используется свойство параболоида вращения собирать пучок лучей, параллельный главной оси, в одну точку — фокус, или, наоборот, формировать параллельный пучок излучения от находящегося в фокусе источника. На этом принципе основана работа параболических антенн, телескопов-рефлекторов с параболическим зеркалом, прожекторов, автомобильных фар и т. д. Подробнее, см. рефлектор (зеркало).
См. также
- Гиперболоид — другой вид поверхности второго порядка.
- Поверхности второго порядка.
- Квадратичная форма.
Литература
- Делоне Б. Н., Райков Д. А. Аналитическая геометрия, в двух томах. — М., Л.: Гостехиздат, 1948, 1949.
- Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 240 с.
- Канатников А. Н., Крищенко А. П. Аналитическая геометрия. — М.: Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002. — 388 с. — ISBN 5-7038-1671-8.