Внутренняя метрика

Пусть задано топологическое пространство ${\displaystyle X}$ и выбран класс некоторых допустимых путей ${\displaystyle \Gamma }$, содержащийся во множестве всех непрерывных путей в ${\displaystyle X}$.

• На пространстве ${\displaystyle X}$ задан функционал длины, если на множестве ${\displaystyle \Gamma }$ задана функция ${\displaystyle L\colon \Gamma \to \mathbb {R} _{+}\cup \infty }$, ставящая в соответствие каждому ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ значение ${\displaystyle L(\gamma )}$ (неотрицательное число или бесконечность), которое называется длиной пути ${\displaystyle \gamma }$.

• Метрика ${\displaystyle \rho }$ на пространстве ${\displaystyle X}$ называется внутренней, если для любых двух точек ${\displaystyle x,y\in X}$ расстояние между ними определяется формулой ${\displaystyle \rho (x,y)=\inf\{L(\gamma )\},}$ где инфинум берётся по всем допустимым путям, соединяющим точки ${\displaystyle x,y\in X}$.

• Если ${\displaystyle (X,\rho )}$ — пространство с внутренней метрикой, то для любых двух точек ${\displaystyle x,y\in X}$ и любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует их ${\displaystyle \varepsilon }$-середина. В случае, когда метрическое пространство ${\displaystyle (X,\rho )}$ полное, имеет место и обратное утверждение: если для любых двух точек ${\displaystyle x,y\in X}$ и любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует их ${\displaystyle \varepsilon }$-середина, то эта метрика внутренняя.
• Полное метрическое пространство ${\displaystyle (X,\rho )}$ с внутренней метрикой обладает следующим свойством: для любых двух точек ${\displaystyle x,y\in X}$ и ${\displaystyle \varepsilon >0}$ найдётся кривая длины ${\displaystyle <\rho (x,y)+\varepsilon ,}$ соединяющая точки ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$. Кроме того, в полном метрическом пространстве с внутренней метрикой длина кратчайшей совпадает с расстоянием между её концами.
• Теорема Хопфа — Ринова: Если ${\displaystyle (X,\rho )}$ — локально компактное полное метрическое пространство с внутренней метрикой, то любые две точки ${\displaystyle X}$ можно соединить кратчайшей. Более того, пространство ${\displaystyle X}$ является ограниченно компактным (то есть все ограниченные замкнутые подмножества ${\displaystyle X}$ являются компактными).

• Риманово многообразие
• Субриманово многообразие
• Финслерова геометрия

• Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В., Курс метрической геометрии. — Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2004. ISBN 5-93972-300-4