Финслерова геометрия

Если положить

${\displaystyle g_{ij}(x,y)={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{i}\partial y^{j}}}[F^{2}(x,y)]}$,

то форму ${\displaystyle \mathbf {g} _{y}(u,v)}$ можно переписать в виде ${\displaystyle \mathbf {g} _{y}(u,v)=g_{ij}(x,y)u^{i}v^{j}}$

Для любого ненулевого векторного поля ${\displaystyle Y}$, определённого на ${\displaystyle U\subset M^{n}}$, ${\displaystyle \mathbf {g} _{Y}(u,v)}$ есть риманова метрика на ${\displaystyle U}$.

Для гладкой кривой ${\displaystyle c:[a,b]\rightarrow M^{n}}$ на многообразии ${\displaystyle M^{n}}$ с финслеровой метрикой ${\displaystyle F}$ длина определяется интегралом ${\displaystyle L_{F}(c)=\int _{a}^{b}F(c(t),{\dot {c}}(t))dt}$.

Оператор ковариантного дифференцирования Черна (или Рунда) ${\displaystyle \nabla :T_{x}M^{n}\times \Gamma ^{\infty }(TM^{n})\rightarrow T_{x}M^{n}}$ определяется как ${\displaystyle \nabla _{y}U:=\{dU^{i}(y)+U^{j}N_{j}^{i}(x,y)\}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}|_{x},}$ где ${\displaystyle y\in T_{x}M^{n}}$, ${\displaystyle U\in \Gamma ^{\infty }(TM^{n})}$ и ${\displaystyle N_{j}^{i}(x,y)={\frac {\partial }{\partial y^{j}}}\left[{\frac {1}{4}}g^{il}(x,y)\left\{2{\frac {\partial g_{ml}}{\partial x^{k}}}(x,y)-{\frac {\partial g_{mk}}{\partial x^{l}}}(x,y)\right\}y^{m}y^{k}\right].}$

Введённая таким образом связность на многообразии не является, вообще говоря, аффинной связностью. Связность будет аффинной в том и только в том случае, когда финслерова метрика будет метрикой Бервальда^{[уточнить]}. По определению это значит, что уравнения геодезических имеют такой же вид, как и в римановой геометрии, или геодезические коэффициенты

${\displaystyle G^{i}(x,y)={\frac {1}{4}}g^{il}(x,y)\left\{2{\frac {\partial g_{jl}}{\partial x^{k}}}(x,y)-{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{l}}}(x,y)\right\}y^{j}y^{k}}$ представимы в виде ${\displaystyle G^{i}(x,y)=\Gamma _{jk}^{i}(x)y^{j}y^{k}.}$

Для вектора ${\displaystyle y\in T_{x}M^{n}\backslash \{0\}}$ рассмотрим функции ${\displaystyle R_{k}^{i}(y)=2{\frac {\partial G^{i}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial ^{2}G^{i}}{\partial x^{j}\partial y^{k}}}y^{j}+2G^{j}{\frac {\partial ^{2}G^{i}}{\partial y^{j}\partial y^{k}}}-{\frac {\partial G^{i}}{\partial y^{j}}}{\frac {\partial G^{j}}{\partial y^{k}}}}$. Тогда семейство преобразований ${\displaystyle \mathbf {R} =\left\{\mathbf {R} _{y}=R_{k}^{i}(y){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\otimes dx^{k}|_{x}:T_{x}M^{n}\rightarrow T_{x}M^{n},y\in T_{x}M^{n}\backslash \{0\},x\in M^{n}\right\}}$ называется римановой кривизной. Пусть ${\displaystyle P\subset T_{x}M^{n}}$ касательная 2-мерная плоскость. Для вектора ${\displaystyle y\in P\backslash \{0\}}$, определим ${\displaystyle K(P,y)={\frac {\mathbf {g} _{y}(\mathbf {R} _{y}(u),u)}{\mathbf {g} _{y}(y,y)\mathbf {g} _{y}(u,u)-\mathbf {g} _{y}(y,u)^{2}}},}$ где ${\displaystyle u\in P}$ такой вектор, что ${\displaystyle P=\mathrm {span} \{y,u\}}$. ${\displaystyle K(P,y)}$ не зависит от выбора ${\displaystyle u\in P}$. Число ${\displaystyle K(P,y)}$ называется флаговой кривизной флага ${\displaystyle (P,y)}$ в ${\displaystyle T_{x}M^{n}}$.