Субриманово многообразие

Субри́маново многообра́зие — математическое понятие, обобщающее риманово многообразие. Суть обобщения состоит в том, что скалярное произведение задается не на касательных пространствах целиком, а только на некоторых их подпространствах (как правило, фиксированной размерности).

Тем самым, в субримановом многообразии понятие длины определено не для всех кривых, а только для так называемых горизонтальных кривых (тех, которые в каждой своей точке касаются соответствующего подпространства). Возникающая таким образом внутренняя метрика субриманова многообразия называется метрикой Карно-Каратеодори.

Определение

Пусть $M$ — гладкое многообразие размерности $m$ , на котором задано гладкое распределение $\Delta$ размерности $n<m$ , т.е. в каждой точке $x\in M$ задано линейное подпространство $\Delta _{x}$ касательного пространства $T_{x}M$ которое гладко зависит от точки $x$ . Подпространства $\Delta _{x}$ называются горизонтальными. Векторное поле и кривая на $M$ называются горизонтальными, если они касаются распределения $\Delta$ в каждой точке (в случае кривой имеются в виду все точки, в которых кривая имеет касательную).

Распределение $\Delta$ называется вполне неинтегрируемым или вполне неголономным, если в каждой точке $x\in M$ любой вектор касательного пространства $T_{x}M$ представим в виде линейной комбинации векторов вида

A,\ [A,B],\ [A,[B,C]],\ [A,[B,[C,D]]],\ \dots

с некоторыми

A,B,C,D,\dots \in \Delta _{x}

. Здесь

[A,B]

означает скобку Ли векторных полей.

Многообразие $M$ с определённым на нём вполне неинтегрируемым распределением $\Delta$ называется субримановым, если каждое горизонтальное подпространство $\Delta _{x}\subset T_{x}M$ снабжено скалярным произведением g — метрическим тензором, меняющимся от точки к точке гладким образом. Другими словами, субримановым многообразием называется тройка $(M,\Delta ,g)$ .

Связанные понятия

Теорема Рашевского — Чоу

Теорема Рашевского — Чоу утверждает, что для любых двух точек линейно связного субриманова многообразия найдется кусочно-гладкая горизонтальная кривая, соединяющая эти точки. Эта теорема была доказана независимо советским математиком П. К. Рашевским (1938)[1] и китайским математиком Чоу (Wei-Liang Chow, 1939)[2].

В этой теореме условие гладкости вполне неголономного распределения может быть ослаблено и заменено условием лишпицевости[3].

Метрика Карно — Каратеодори

Каждое субриманово многообразие обладает метрикой, определённой по аналогии с римановым многообразием формулой

d(x,y)=\inf \int _{0}^{1}{\sqrt {g({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))}}\,dt,

где инфимум берётся по всевозможным кусочно-гладким горизонтальным кривым, соединияющим точки x и y, то есть ${\displaystyle \gamma$ , $\gamma (0)=x$ , $\gamma (1)=y$ . Определённая таким образом метрика $d(x,y)$ называется метрикой Карно-Каратеодори.

Примечания

Рашевский П. К. О соединимости любых двух точек вполне неголономного пространства допустимой линией. Уч. зап. Моск. гос. пед. ин-та им. К. Либкнехта. Сер. физ.-мат., 3:2 (1938), 83—94
Chow W. L. Uber Systeme von linearen partiallen Differentialgleichungen erster Ordnung. Math. Ann., 117 (1939), 98—105
К. В. Сторожук. Теорема Каратеодори-Рашевского-Чоу для липшицевых неголономных распределений. Сиб. матем. журн., 54:6 (2013), 1380—1387

Литература

Bellaïche, André & Risler, Jean-Jacques, eds. (1996), Sub-Riemannian geometry, vol. 144, Progress in Mathematics, Birkhäuser Verlag, ISBN 978-3-7643-5476-3, <https://books.google.com/books?id=7Z7IMze7pDwC>
Gromov, Mikhael (1996), Carnot-Carathéodory spaces seen from within, in Bellaïche, André & Risler., Jean-Jacques, Sub-Riemannian geometry, vol. 144, Progr. Math., Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, с. 79–323, ISBN 3-7643-5476-3, <http://www.ihes.fr/~gromov/PDF/carnot_caratheodory.pdf> Архивная копия от 27 сентября 2011 на Wayback Machine
Le Donne, Enrico, Lecture notes on sub-Riemannian geometry, <https://sites.google.com/site/enricoledonne/LeDonne_subRiemannian.pdf>
Richard Montgomery, A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesics and Applications (Mathematical Surveys and Monographs, Volume 91), (2002) American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1391-9.
Agrachev, Andrei A.; Barilari, Davide; Boscain, Ugo, Introduction to Riemannian and sub-Riemannian geometry
R.S. Strichartz, Sub-Riemannian geometry, Journal of Differential Geometry 24 (1986), 221-263.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Рашевский П. К. О соединимости любых двух точек вполне неголономного пространства допустимой линией. Уч. зап. Моск. гос. пед. ин-та им. К. Либкнехта. Сер. физ.-мат., 3:2 (1938), 83—94

[2] Chow W. L. Uber Systeme von linearen partiallen Differentialgleichungen erster Ordnung. Math. Ann., 117 (1939), 98—105

[3] К. В. Сторожук. Теорема Каратеодори-Рашевского-Чоу для липшицевых неголономных распределений. Сиб. матем. журн., 54:6 (2013), 1380—1387