Субриманово многообразие
Субри́маново многообра́зие — математическое понятие, обобщающее риманово многообразие. Суть обобщения состоит в том, что скалярное произведение задается не на касательных пространствах целиком, а только на некоторых их подпространствах (как правило, фиксированной размерности).
Тем самым, в субримановом многообразии понятие длины определено не для всех кривых, а только для так называемых горизонтальных кривых (тех, которые в каждой своей точке касаются соответствующего подпространства). Возникающая таким образом внутренняя метрика субриманова многообразия называется метрикой Карно-Каратеодори.
Определение
- Пусть — гладкое многообразие размерности , на котором задано гладкое распределение размерности , т.е. в каждой точке задано линейное подпространство касательного пространства которое гладко зависит от точки . Подпространства называются горизонтальными. Векторное поле и кривая на называются горизонтальными, если они касаются распределения в каждой точке (в случае кривой имеются в виду все точки, в которых кривая имеет касательную).
- Распределение называется вполне неинтегрируемым или вполне неголономным, если в каждой точке любой вектор касательного пространства представим в виде линейной комбинации векторов вида
- с некоторыми . Здесь означает скобку Ли векторных полей.
- Многообразие с определённым на нём вполне неинтегрируемым распределением называется субримановым, если каждое горизонтальное подпространство снабжено скалярным произведением g — метрическим тензором, меняющимся от точки к точке гладким образом. Другими словами, субримановым многообразием называется тройка .
Связанные понятия
Теорема Рашевского — Чоу
Теорема Рашевского — Чоу утверждает, что для любых двух точек линейно связного субриманова многообразия найдется кусочно-гладкая горизонтальная кривая, соединяющая эти точки. Эта теорема была доказана независимо советским математиком П. К. Рашевским (1938)[1] и китайским математиком Чоу (Wei-Liang Chow, 1939)[2].
В этой теореме условие гладкости вполне неголономного распределения может быть ослаблено и заменено условием лишпицевости[3].
Метрика Карно — Каратеодори
Каждое субриманово многообразие обладает метрикой, определённой по аналогии с римановым многообразием формулой
где инфимум берётся по всевозможным кусочно-гладким горизонтальным кривым, соединияющим точки x и y, то есть , , . Определённая таким образом метрика называется метрикой Карно-Каратеодори.
Примечания
- Рашевский П. К. О соединимости любых двух точек вполне неголономного пространства допустимой линией. Уч. зап. Моск. гос. пед. ин-та им. К. Либкнехта. Сер. физ.-мат., 3:2 (1938), 83—94
- Chow W. L. Uber Systeme von linearen partiallen Differentialgleichungen erster Ordnung. Math. Ann., 117 (1939), 98—105
- К. В. Сторожук. Теорема Каратеодори-Рашевского-Чоу для липшицевых неголономных распределений. Сиб. матем. журн., 54:6 (2013), 1380—1387
Литература
- Bellaïche, André & Risler, Jean-Jacques, eds. (1996), Sub-Riemannian geometry, vol. 144, Progress in Mathematics, Birkhäuser Verlag, ISBN 978-3-7643-5476-3, <https://books.google.com/books?id=7Z7IMze7pDwC>
- Gromov, Mikhael (1996), Carnot-Carathéodory spaces seen from within, in Bellaïche, André & Risler., Jean-Jacques, Sub-Riemannian geometry, vol. 144, Progr. Math., Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, с. 79–323, ISBN 3-7643-5476-3, <http://www.ihes.fr/~gromov/PDF/carnot_caratheodory.pdf> Архивная копия от 27 сентября 2011 на Wayback Machine
- Le Donne, Enrico, Lecture notes on sub-Riemannian geometry, <https://sites.google.com/site/enricoledonne/LeDonne_subRiemannian.pdf>
- Richard Montgomery, A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesics and Applications (Mathematical Surveys and Monographs, Volume 91), (2002) American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1391-9.
- Agrachev, Andrei A.; Barilari, Davide; Boscain, Ugo, Introduction to Riemannian and sub-Riemannian geometry
- R.S. Strichartz, Sub-Riemannian geometry, Journal of Differential Geometry 24 (1986), 221-263.