Подпространство

Подпростра́нство — понятие, используемое (непосредственно или в словосочетаниях) в различных разделах математики.

Подпространство — подмножество некоторого пространства (аффинного, векторного, проективного, топологического, метрического и так далее), которое само является пространством соответствующего типа со свойствами, индуцированными объемлющим пространством.

Приставка «под» используется в том же смысле для других математических объектов, например подграф, подгруппа, подкатегория и так далее.

Примеры

Непустое подмножество $L'\subset L$ векторного (линейного) пространства $L$ над полем $F$ является векторным (линейным) подпространством, если выполнены два свойства: для всяких векторов $x,y\in L'$ сумма $x+y\in L'$ и для всякого вектора $x\in L'$ и любого $\alpha \in F$ вектор $\alpha x\in L'$ . В частности, подпространство $L'$ обязательно содержит нулевой вектор пространства $L$ (он также является нулевым вектором пространства $L'$ ).

Векторное подпространство $L'\subset L$ называется собственным подпространством, если $L'\neq L$ и $L'$ содержит хотя бы один ненулевой вектор.

Векторное подпространство $L'\subset L$ называется инвариантным подпространством линейного отображения $A:L\to L$ , если $A(L')\subset L'$ , то есть $A(x)\in L'$ для любого вектора $x\in L'$ . Если $\lambda$ — собственное значение отображения $A$ , то все векторы $e\in L$ , удовлетворяющие соотношению $A(e)=\lambda e$ (включая и нулевой вектор), образуют инвариантное подпространство отображения $A$ . Оно называется собственным подпространством, соответствующим данному собственному значению $\lambda$ .

Подпространство евклидова векторного пространства также является евклидовым пространством, но подпространство псевдоевклидова векторного пространства может быть и псевдоевклидовым (другой сигнатуры), и евклидовым пространством, а также может быть вырожденным или изотропным[1].

Подпространство $M'\subset M$ метрического пространства $M$ с метрикой $\rho$ обладает индуцированной метрикой $\rho '$ , которая определена формулой $\rho '(x,y)=\rho (x,y)$ для любых $x,y\in M'$ [2].

Подпространство $T'\subset T$ топологического пространства $T$ с топологией $\tau$ обладает индуцированной топологией $\tau '$ , открытыми множествами в которой являются множества $G_{\tau '}=G_{\tau }\cap T'$ , где $G_{\tau }$ — всевозможные открытые множества в топологии $\tau$ [2].

Пусть $P=P(L)$ — проективное пространство, состоящее из прямых векторного пространства $L$ , и $L'\subset L$ — векторное подпространство. Тогда проективное пространство $P'=P(L')\subset P$ является проективным подпространством[3].

Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009 (гл. 7, пар. 7)
Зорич В. А. Математический анализ. — Любое издание, том 2, гл. IX.
Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Любое издание, гл. IX, пар. 1.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.