Подкатегория
В математике, подкатегория категории C — это категория S, объекты которой являются также объектами C и морфизмы которой являются также морфизмами в C, с теми же тождественными морфизмами и правилами композиции. Интуитивно, подкатегория C получается из C удалением некоторых объектов и морфизмов.
Формальное определение
Пусть C — категория. Подкатегория S категории C задается при помощи
- подкласса объектов C, обозначаемого ob(S),
- подкласса морфизмов C, обозначаемых hom(S).
таких что выполняются следующие условия:
- для каждого X в ob(S) тождественный морфизм idX принадлежит hom(S),
- для каждого морфизма f : X → Y в hom(S), его прообраз X и образ Y лежат в ob(S),
- для каждой пары морфизмов f, g в hom(S) композиция f o g лежит в hom(S), если она определена в C.
Из этих условий следует, что S является категорией сама по себе. Существует очевидный строгий функтор I : S → C, называемый функтором вложения.
Подкатегория S называется полной подкатегорией C, если для каждой пары объектов X, Y в S
Виды подкатегорий
Подкатегория S категории C называется замкнутой относительно изоморфизма, если любой изоморфизм k : X → Y в C, такой что Y принадлежит S, также принадлежит S. Замкнутая относительно изморфизма полная подкатегория называется строго полной.
Подкатегория C — широкая, если она содержит все объекты C. В частности, единстренная широкая полная подкатегория категории C — сама C.
См. также
Литература
- С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.