Интерполяционная формула Гаусса

Интерполяционная формула Гаусса — формула, использующая в качестве узлов интерполяции ближайшие к точке интерполирования ${\displaystyle x}$ узлы. Строится с помощью интерполяционной формулы Ньютона.

Пусть необходимо интерполировать некоторую функцию ${\displaystyle f}$. Если ${\displaystyle x=x_{0}+th}$, где ${\displaystyle x_{0}}$ — некоторая начальная точка, ${\displaystyle h>0}$, то формула

${\displaystyle G_{2n}(x_{0}+th)=f_{0}+f_{1/2}^{1}t+f_{0}^{2}{t(t-1) \over 2!}+\ldots +f_{1/2}^{2n-1}{\frac {t(t^{2}-1)\ldots [t^{2}-(n-1)^{2}]}{(2n-1)!}}+f_{0}^{2n}{t(t^{2}-1)\ldots [t^{2}-(n-1)^{2}](t-n) \over (2n)!},}$

написанная по узлам ${\displaystyle x_{0},~x_{0}+h,~x_{0}-h,\ldots ,~x_{0}+nh,~x_{0}-nh}$, называется формулой Гаусса для интерполирования вперёд, а формула

${\displaystyle G_{2n}(x_{0}+th)=f_{0}+f_{-1/2}^{1}t+f_{0}^{2}{t(t+1) \over 2!}+\ldots +f_{-1/2}^{2n-1}{t(t^{2}-1)\ldots [t^{2}-(n-1)^{2}] \over (2n-1)!}+f_{0}^{2n}{t(t^{2}-1)\ldots [t^{2}-(n-1)^{2}](t+n) \over (2n)!},}$

написанная по узлам ${\displaystyle x_{0},~x_{0}-h,~x_{0}+h,\ldots ,~x_{0}-nh,~x_{0}+nh}$, называется формулой Гаусса для интерполирования назад.

В обеих формулах использованы конечные разности, определяемые следующим образом:

${\displaystyle f_{i}=f(x_{i}),\;f_{i+1/2}^{1}=f_{i+1}-f_{i},\;f_{i}^{m}=f_{i+1/2}^{m-1}-f_{i-1/2}^{m-1}}$

Преимущество интерполяционной формулы Гаусса состоит в том, что указанный выбор узлов интерполяции обеспечивает наилучшую оценку остаточного члена по сравнению с любым другим выбором, а упорядоченность узлов по мере их близости к точке интерполяции уменьшает вычислительную погрешность интерполирования.