Интерполяционные формулы Ньютона

Если все расстояния между соседними узлами различны, то многочлен Ньютона строится по формуле

${\displaystyle P_{n}(x)=f(x_{0})+(x-x_{0})f(x_{0};x_{1})+(x-x_{0})(x-x_{1})f(x_{0};x_{1};x_{2})+\ldots +(x-x_{0})\ldots (x-x_{n-1})f(x_{0};\ldots ;x_{n}),}$

где ${\displaystyle f(x_{0};\ldots ;x_{n})}$ – разделённая разность порядка ${\displaystyle n}$.

Если соседние узлы находятся друг от друга на некотором фиксированном расстоянии ${\displaystyle h}$, то есть ${\displaystyle x_{i}=x_{0}+ih}$, ${\displaystyle i=0,\ldots ,n}$, то многочлен Ньютона можно строить либо начиная с ${\displaystyle x_{0}}$ (в таком случае говорят об «интерполировании вперёд»), либо с ${\displaystyle x_{n}}$ («интерполирование назад»).

В первом случае формула для многочлена Ньютона принимает вид

${\displaystyle P_{n}(x)=y_{0}+q\Delta y_{0}+{\frac {q(q-1)}{2!}}\Delta ^{2}y_{0}+\ldots +{\frac {q(q-1)\ldots (q-n+1)}{n!}}\Delta ^{n}y_{0},}$

где ${\displaystyle q=(x-x_{0})/h,\;y_{i}=f(x_{i})}$, а выражения вида ${\displaystyle \Delta ^{k}y_{0}}$ — конечные разности.

Во втором случае формула принимает вид

${\displaystyle P_{n}(x)=y_{n}+q\Delta y_{n-1}+{\frac {q(q+1)}{2!}}\Delta ^{2}y_{n-2}+\ldots +{\frac {q(q+1)\ldots (q+n-1)}{n!}}\Delta ^{n}y_{0},}$

где ${\displaystyle q=(x-x_{n})/h}$.

При ${\displaystyle h=1}$ справедлива формула:

${\displaystyle P_{n}(x)=\sum _{m=0}^{n}C_{x}^{m}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{m-k}\,C_{m}^{k}\,f(k)}$

где ${\displaystyle C_{x}^{m}}$ — обобщённые на область действительных чисел биномиальные коэффициенты.

Многочлен Ньютона представляет собой одну из форм записи многочлена Лагранжа. Поэтому остаточные члены этих формул совпадают. Однако остаточный член ${\displaystyle R_{n}(x)=f(x)-P_{n}(x)}$ формулы Ньютона можно записать в другой форме:

• для случая неравноотстоящих узлов:

${\displaystyle R_{n}(x)=(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{n})f(x_{0};\ldots ;x_{n}).}$

Если функция ${\displaystyle f}$ имеет производную порядка ${\displaystyle n+1}$, то ${\displaystyle f(x_{0};\ldots ;x_{n})={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}},}$ где ${\displaystyle \xi }$ — некоторая точка, принадлежащая наименьшему промежутку, содержащему все узлы интерполяции.

• для случая равноотстоящих узлов:

для интерполирования вперёд:

${\displaystyle R_{n}={\frac {h^{n+1}f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}q(q-1)(q-2)\ldots (q-n).}$

для интерполирования назад:

${\displaystyle R_{n}={\frac {h^{n+1}f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}q(q+1)(q+2)\ldots (q+n).}$