Эрмитова интерполяция
Эрмитова интерполяция - метод полиномиальной интерполяции, названный в честь французского математика Шарля Эрмита. Многочлены Эрмита тесно связаны с многочленами Ньютона.
В отличие от интерполяции Ньютона, эрмитова интерполяция строит многочлен, значения которого в выбранных точках совпадают со значениями исходной функции в этих точках, и все производные многочлена вплоть до некоторого порядка m в данных точках совпадают со значениями производных функции. Это означает, что n(m + 1) величин
должны быть известны, тогда как для ньютоновской интерполяции необходимы только первые n значений. Полученный многочлен может иметь степень не более, чем n(m + 1) − 1, максимальная степень многочлена Ньютона же равна n − 1. (В общем случае m не обязательно должно быть фиксировано, то есть в одних точках может быть известно значение большего количества производных, чем в других. В этом случае многочлен будет иметь степень N − 1, где N - число известных значений.)
Использование
Простой случай
При использовании разделенных разностей для вычисления многочлена Эрмита, первым шагом является копирование каждой точки m раз. (Здесь мы рассмотрим простой случай, когда для всех точек .) Поэтому, дана точка , и значения и функции f, которую мы хотим интерполировать. Определим новый набор данных
такой, что
Теперь определим таблицу разделенных разностей для точек . Однако, для некоторых разделенных разностей
что есть неопределенность! В этом случае заменим эту разделенную разность значением , а другие вычислим обычным способом.
Общий случай
В общем случае полагаем, что в данных точках известны производные функции f до порядка k включительно. Тогда набор данных содержит k копий . При создании таблицы разделенных разностей при одинаковые значения будут вычислены как
- .
Например,
и так далее.
Пример
Рассмотрим функцию . Вычислив значения функции и её первых двух производных в точках , получим следующие данные:
x ƒ(x) ƒ'(x) ƒ''(x) −1 2 −8 56 0 1 0 0 1 2 8 56
Так как мы работаем с двумя производными, строим множество . Таблица разделенных разностей тогда имеет вид:
и получаем многочлен
взятием коэффициентов диагонали таблицы разделенных разностей, и умножением коэффициента с номером k на , как при получении многочлена Ньютона.
Погрешность эрмитовой интерполяции
Назовем найденный многочлен H и исходную функцию f. Для точек , функция ошибки определяется как
- ,
где c неизвестная из диапазона , K - общее число данных значений плюс один, а - число производных, известных в каждой точке , плюс один.
