Бесконечно малая и бесконечно большая

Последовательность ${\displaystyle a_{n}}$ называется бесконечно малой, если ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=0}$. Например, последовательность чисел ${\displaystyle a_{n}={\dfrac {1}{n}}}$ — бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки ${\displaystyle x_{0}}$, если ${\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}}f(x)=0}$.

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если ${\displaystyle \lim \limits _{x\to +\infty }f(x)=0}$ либо ${\displaystyle \lim \limits _{x\to -\infty }f(x)=0}$.

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если ${\displaystyle \lim \limits _{x\to +\infty }f(x)=a}$, то ${\displaystyle f(x)-a=\alpha (x)}$, ${\displaystyle \lim \limits _{x\to +\infty }(f(x)-a)=0}$.

Подчеркнём, что бесконечно малую величину следует понимать как переменную величину (функцию), которая лишь в процессе своего изменения [при стремлении ${\displaystyle x}$ к ${\displaystyle a}$ (из ${\displaystyle \lim \limits _{x\to a}f(x)=0}$)] делается меньше произвольного числа (${\displaystyle \varepsilon }$). Поэтому, например, утверждение типа «одна миллионная есть бесконечно малая величина» неверно: о числе [абсолютном значении] не имеет смысла говорить, что оно бесконечно малое.[1]

Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция ${\displaystyle x\sin x}$, неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при ${\displaystyle x\to +\infty }$.

Последовательность ${\displaystyle a_{n}}$ называется бесконечно большой, если ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=\infty }$.

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки ${\displaystyle x_{0}}$, если ${\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}}f(x)=\infty }$.

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если ${\displaystyle \lim \limits _{x\to +\infty }f(x)=\infty }$ либо ${\displaystyle \lim \limits _{x\to -\infty }f(x)=\infty }$.

Как и в случае бесконечно малых, необходимо отметить, что ни одно отдельно взятое значение бесконечно большой величины не может быть названо как «бесконечно большое» — бесконечно большая величина — это функция, которая лишь в процессе своего изменения может стать больше произвольно взятого числа.

• Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
• Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.
• Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.
• Если ${\displaystyle a_{n}}$ — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то ${\displaystyle b_{n}={\dfrac {1}{a_{n}}}}$ — бесконечно большая последовательность.

Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же ${\displaystyle x\to a}$ величины ${\displaystyle \alpha (x)}$ и ${\displaystyle \beta (x)}$ (либо, что не важно для определения, бесконечно малые последовательности).

• Если ${\displaystyle \lim \limits _{x\to a}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=0}$, то ${\displaystyle \beta }$ — бесконечно малая высшего порядка малости, чем ${\displaystyle \alpha }$. Обозначают ${\displaystyle \beta =o(\alpha )}$ или ${\displaystyle \beta \prec \alpha }$.
• Если ${\displaystyle \lim \limits _{x\to a}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=\infty }$, то ${\displaystyle \beta }$ — бесконечно малая низшего порядка малости, чем ${\displaystyle \alpha }$. Соответственно ${\displaystyle \alpha =o(\beta )}$ или ${\displaystyle \alpha \prec \beta }$.
• Если ${\displaystyle \lim \limits _{x\to a}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=c}$ (предел конечен и не равен 0), то ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости. Это обозначается как ${\displaystyle \alpha \asymp \beta }$ или как одновременное выполнение отношений ${\displaystyle \beta =O(\alpha )}$ и ${\displaystyle \alpha =O(\beta )}$. Следует заметить, что в некоторых источниках можно встретить обозначение, когда одинаковость порядков записывают в виде только одного отношения «о большое», что является вольным использованием данного символа.
• Если ${\displaystyle \lim \limits _{x\to a}{\dfrac {\beta }{\alpha ^{m}}}=c}$ (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина ${\displaystyle \beta }$ имеет ${\displaystyle m}$-й порядок малости относительно бесконечно малой ${\displaystyle \alpha }$.

Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя.

• При ${\displaystyle {x\to 0}}$ величина ${\displaystyle x^{5}}$ имеет высший порядок малости относительно ${\displaystyle x^{3}}$, так как ${\displaystyle \lim \limits _{x\to 0}{\dfrac {x^{5}}{x^{3}}}=0}$. С другой стороны, ${\displaystyle x^{3}}$ имеет низший порядок малости относительно ${\displaystyle x^{5}}$, так как ${\displaystyle \lim \limits _{x\to 0}{\dfrac {x^{3}}{x^{5}}}=\infty }$.

С использованием О-символики полученные результаты могут быть записаны в следующем виде ${\displaystyle x^{5}=o(x^{3})}$.

• ${\displaystyle \lim \limits _{x\to 0}{\dfrac {2x^{2}+6x}{x}}=\lim \limits _{x\to 0}{\dfrac {2x+6}{1}}=\lim \limits _{x\to 0}(2x+6)=6,}$ то есть при ${\displaystyle x\to 0}$ функции ${\displaystyle f(x)=2x^{2}+6x}$ и ${\displaystyle g(x)=x}$ являются бесконечно малыми величинами одного порядка.

В данном случае справедливы записи ${\displaystyle 2x^{2}+6x=O(x)}$ и ${\displaystyle x=O(2x^{2}+6x).}$

• При ${\displaystyle {x\to 0}}$ бесконечно малая величина ${\displaystyle 2x^{3}}$ имеет третий порядок малости относительно ${\displaystyle x}$, поскольку ${\displaystyle \lim \limits _{x\to 0}{\dfrac {2x^{3}}{x^{3}}}=2}$, бесконечно малая ${\displaystyle 0{,}7x^{2}}$ — второй порядок, бесконечно малая ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ — порядок 0,5.

Если ${\displaystyle \lim \limits _{x\to a}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=1}$, то бесконечно малые или бесконечно большие величины ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ называются эквивалентными (обозначается как ${\displaystyle \alpha \thicksim \beta }$).

Очевидно, что эквивалентные величины являются частным случаем бесконечно малых (бесконечно больших) величин одного порядка малости.

При ${\displaystyle \alpha (x){\xrightarrow[{x\to x_{0}}]{}}0}$ справедливы следующие соотношения эквивалентности (как следствия из так называемых замечательных пределов):

• ${\displaystyle \sin \alpha (x)\thicksim \alpha (x);}$
• ${\displaystyle \mathrm {tg} \,\alpha (x)\thicksim \alpha (x);}$
• ${\displaystyle \arcsin {\alpha (x)}\thicksim \alpha (x);}$
• ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\arccos {\alpha (x)}\thicksim \alpha (x)}$
• ${\displaystyle \mathrm {arctg} \,\alpha (x)\thicksim \alpha (x);}$
• ${\displaystyle \log _{a}(1+\alpha (x))\thicksim \alpha (x)\cdot {\frac {1}{\ln {a}}}}$, где ${\displaystyle a>0}$, ${\displaystyle a\neq 1}$;
• ${\displaystyle \ln(1+\alpha (x))\thicksim \alpha (x);}$
• ${\displaystyle a^{\alpha (x)}-1\thicksim \alpha (x)\cdot \ln {a}}$, где ${\displaystyle a>0}$;
• ${\displaystyle e^{\alpha (x)}-1\thicksim \alpha (x);}$
• ${\displaystyle 1-\cos {\alpha (x)}\thicksim {\frac {\alpha ^{2}(x)}{2}};}$
• ${\displaystyle (1+\alpha (x))^{\mu }-1\thicksim \mu \cdot \alpha (x),\quad \mu \in \mathbb {R} }$, поэтому используют выражение:

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{1+\alpha (x)}}\approx {\frac {\alpha (x)}{n}}+1}$, где ${\displaystyle \alpha (x){\xrightarrow[{x\to x_{0}}]{}}0}$.

Предел частного (отношения) двух бесконечно малых или бесконечно больших величин не изменится, если одну из них (или обе) заменить эквивалентной величиной.

Данная теорема имеет прикладное значение при нахождении пределов (см. пример).

• Найти ${\displaystyle \lim \limits _{x\to 0}{\dfrac {\sin 2x}{x}}.}$

Заменяя ${\displaystyle \sin 2x}$ эквивалентной величиной ${\displaystyle 2x}$, получаем

${\displaystyle \lim \limits _{x\to 0}{\dfrac {\sin 2x}{x}}=\lim \limits _{x\to 0}{\dfrac {2x}{x}}=2.}$

• Найти ${\displaystyle \lim \limits _{x\to {\frac {\pi }{2}}}{\dfrac {\sin(4\cos x)}{\cos x}}.}$

Так как ${\displaystyle \sin(4\cos x)\thicksim {4\cos x}}$ при ${\displaystyle x\to {\dfrac {\pi }{2}}}$ получим

${\displaystyle \lim \limits _{x\to {\frac {\pi }{2}}}{\dfrac {\sin(4\cos x)}{\cos x}}=\lim \limits _{x\to {\frac {\pi }{2}}}{\dfrac {4\cos x}{\cos x}}=4.}$

• Вычислить ${\displaystyle {\sqrt {1{,}2}}}$.

Используя формулу: ${\displaystyle {\sqrt {1{,}2}}\approx 1+{\frac {0{,}2}{2}}=1{,}1}$, тогда как, используя калькулятор (более точные вычисления), получили: ${\displaystyle {\sqrt {1{,}2}}\approx 1{,}095}$, таким образом ошибка составила 0,005 (менее 1 %), то есть метод полезен, благодаря своей простоте, при грубой оценке арифметических корней близких к единице.